Сложение чисел в двоичной системе

Сложение в двоичной системе

Арифметику в двоичной системе счисления выполняют по тем же правилам столбиком, что и в привычной десятичной, но с одним важным отличием: цифр всего две — 0 и 1. Из-за этого перенос в старший разряд возникает гораздо чаще, чем в десятичной арифметике. Зато правил для запоминания совсем немного.

Таблица сложения битов

Сложение двоичных цифр подчиняется простой таблице из четырёх правил. Запомнить по-настоящему нужно только последнюю строку, где появляется перенос.

Главное правило: 1 + 1 = 10_2. В текущем разряде остаётся 0, а единица переносится в следующий разряд слева, точно так же, как при переходе через десяток в обычной арифметике переносится десяток.

Сложение столбиком

Числа записывают друг под другом, выравнивая по правому краю, как при сложении в столбик в начальной школе. Затем складывают поразрядно, двигаясь справа налево, и обязательно прибавляют перенос, пришедший из предыдущего разряда.

Разобранный пример

Сложим 101 и 011 столбиком:

1 0 1

+ 0 1 1

-------

1 0 0 0

Разберём действие по разрядам справа налево. В младшем разряде 1 + 1 = 0 и перенос 1. В следующем разряде 0 + 1 + 1(перенос) = 0 и снова перенос 1. В третьем разряде 1 + 0 + 1(перенос) = 0 и перенос 1. Последний перенос даёт старшую единицу в новом разряде. Итог: 1000.

Проверка переводом

Любой результат двоичного сложения удобно проверить, переведя числа в десятичную систему. Проверим наш пример: 101_2 = 5, 011_2 = 3, их сумма 5 + 3 = 8. Переведём ответ обратно: 1000_2 = 8. Значения совпали, значит сложение выполнено верно.

Ещё один пример

Сложим 111 и 1. В младшем разряде 1 + 1 = 0 и перенос; перенос идёт по всем разрядам, давая в результате 1000. Проверка: 7 + 1 = 8 = 1000_2 — верно.

Где это применяется

Двоичное сложение — не просто учебное упражнение. Именно так складывает числа сам компьютер: его электронные схемы, называемые сумматорами, выполняют поразрядное сложение битов с переносом по тем же правилам, что мы разобрали. Все вычисления — от сложения чисел в калькуляторе до сложных расчётов — в конечном счёте сводятся к работе с нулями и единицами. Поэтому, освоив двоичное сложение, вы понимаете, как устроена арифметика внутри любого процессора.

Частая ошибка: при сложении 1 + 1 записывать в разряд цифру 2. Цифры 2 в двоичной системе не существует — в разряде остаётся 0, а единица уходит в перенос. Из-за этой ошибки результат становится бессмысленным.

Кратко о главном

• В двоичной системе только две цифры, поэтому перенос возникает часто.
• Ключевое правило: 1 + 1 = 10_2 — ноль в разряд, единица в перенос.
• Складывают столбиком справа налево, прибавляя перенос из младшего разряда.
• Результат проверяют переводом чисел в десятичную систему.