Перевод чисел из шестнадцатеричной системы

Перевод из шестнадцатеричной системы

Шестнадцатеричная система счисления имеет основание 16. В ней используют шестнадцать цифр: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F. Буквы заменяют числа от 10 до 15: A — это 10, B — 11, и так до F — 15. Эта система удобна для записи кодов цвета, адресов памяти и машинных команд, потому что длинные двоичные числа в ней становятся короткими и легко читаемыми.

Почему именно 16

Шестнадцатеричная система тесно связана с двоичной, ведь 16 = 2^4. Одна шестнадцатеричная цифра заменяет ровно четыре двоичных разряда. Поэтому громоздкое двоичное число можно записать в четыре раза короче, не теряя точности.

Перевод в десятичную систему

Чтобы перевести число в десятичную систему, каждую цифру умножают на основание 16 в степени, равной её позиции (нумерация позиций справа налево с нуля), и складывают результаты.

2F (16) = 2 · 16^1 + 15 · 16^0 = 32 + 15 = 47 (10)

Здесь цифра F заменена числом 15. Получили десятичное число 47. Рассмотрим число подлиннее, чтобы закрепить правило.

1A3 (16) = 1 · 16^2 + 10 · 16^1 + 3 · 16^0 = 256 + 160 + 3 = 419 (10)

Перевод в двоичную систему

Самый быстрый способ — заменить каждую шестнадцатеричную цифру на четыре двоичных разряда (тетраду). Одна цифра ровно соответствует четырём битам, потому что 16 = 2^4. Достаточно выучить тетрады для всех цифр.

2F (16) = 0010 1111 (2)

Достаточно записать тетрады подряд. Обратно из двоичной в шестнадцатеричную число разбивают на тетрады справа налево и каждую заменяют одной цифрой. Если в последней группе не хватает разрядов, её дополняют нулями слева.

Где встречается эта система

Шестнадцатеричная запись постоянно используется на практике. В графике цвет задают шестью шестнадцатеричными цифрами: по две на красную, зелёную и синюю составляющие. Например, запись FF0000 означает чистый красный цвет, потому что красная составляющая равна максимуму FF = 255, а зелёная и синяя равны нулю. Адреса ячеек памяти и коды ошибок программисты тоже записывают в шестнадцатеричном виде, ведь так длинные двоичные числа становятся компактными и удобными для чтения.

Частые ошибки. Забывают, что A–F — это числа 10–15; нумеруют позиции слева, а не справа; теряют ведущие нули в тетраде (число 2 — это 0010, а не 10); разбивают двоичное число на тетрады слева вместо того, чтобы делать это справа.

Кратко о главном

• Основание шестнадцатеричной системы — 16, цифры от 0 до F.
• Буквы A–F заменяют числа 10–15.
• В десятичную переводят умножением цифр на степени 16.
• В двоичную — заменой каждой цифры на тетраду из четырёх битов.
• Обратно тетрады собирают, разбивая двоичное число справа налево.