Перевод чисел из двоичной системы в десятичную
💻 Информатика · 7 класс
Перевод из двоичной системы в десятичную
В двоичной системе счисления используют только две цифры — 0 и 1. Именно в такой форме данные хранятся в компьютере. Чтобы понять, какое привычное десятичное число записано двоичными цифрами, применяют развёрнутую запись числа по степеням его основания. Для двоичной системы основанием служит число 2.
Что такое разряд и его вес
Каждая цифра в записи числа стоит в своём разряде. В двоичной системе вес каждого разряда — это степень двойки. Самый правый разряд имеет вес 2^0 = 1, следующий за ним — 2^1 = 2, затем 2^2 = 4, далее 2^3 = 8 и так далее. Нумерация разрядов начинается с нуля и идёт справа налево.
| Номер разряда | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Степень двойки | 2^5 | 2^4 | 2^3 | 2^2 | 2^1 | 2^0 |
| Вес разряда | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
Правило перевода
Чтобы перевести двоичное число в десятичное, нужно умножить каждую цифру числа на вес её разряда и сложить все полученные произведения. Цифры, равные нулю, можно не считать — они не дают вклада в сумму, ведь умножение на ноль обнуляет слагаемое. Удобно складывать только те веса, над которыми стоят единицы.
Разобранный пример
Переведём двоичное число 1011 в десятичную систему. Разряды считаем справа налево, начиная с нулевого:
1011_2 = 1·2^3 + 0·2^2 + 1·2^1 + 1·2^0
= 1·8 + 0·4 + 1·2 + 1·1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11
Значит, 1011_2 = 11_10. Нижний индекс показывает основание системы счисления: 2 — двоичная, 10 — десятичная.
Второй пример
Переведём число 110100. Выпишем веса разрядов, где стоят единицы, и сложим их:
110100_2 = 1·32 + 1·16 + 0·8 + 1·4 + 0·2 + 0·1
= 32 + 16 + 4 = 52
Быстрый способ
Опытные ученики не выписывают слагаемые с нулями. Они просто складывают веса разрядов, в которых стоят единицы. Для числа 110100 единицы стоят в разрядах с весами 32, 16 и 4, поэтому сразу получается 32 + 16 + 4 = 52.
Почему это работает
Развёрнутая запись по степеням основания годится для любой системы счисления, а не только для двоичной. В десятичной системе мы тоже неявно ею пользуемся: число 352 означает 3·100 + 5·10 + 2·1, то есть 3·10^2 + 5·10^1 + 2·10^0. Просто там основание равно 10, и веса разрядов — это степени десятки. В двоичной системе всё устроено точно так же, только основание равно 2, поэтому веса разрядов — степени двойки. Понимание этого правила помогает переводить числа из любой позиционной системы счисления в десятичную.
Частая ошибка: начинать нумерацию разрядов слева или с единицы. Веса степеней двойки всегда отсчитывают от правого края, и самый правый разряд имеет вес 2^0 = 1. Если перепутать направление, ответ получится в несколько раз больше или меньше верного.Кратко о главном
- Двоичная система использует только цифры
0и1. - Вес каждого разряда — степень двойки, отсчёт от правого края с
2^0. - Перевод: умножаем каждую цифру на вес разряда и складываем.
- Удобно складывать только веса разрядов, где стоят единицы.
- Нижний индекс у числа показывает основание системы счисления.