Сравнение чисел в разных системах счисления

Можно ли сравнивать числа из разных систем

Числа, записанные в разных системах счисления, нельзя сравнивать «на глаз» по внешнему виду записи. Запись 101 в двоичной системе и 101 в десятичной обозначают совсем разные количества. Сравнение чисел в разных системах — это приведение их к одному основанию, после чего сравнивают уже обычные значения.

Главное правило

Чтобы сравнить два числа, записанных в разных системах, удобнее всего перевести оба в десятичную систему. Десятичная система привычна, и сравнивать в ней проще всего. После перевода сравнивают полученные десятичные значения как обычные числа.

Разбор примера

Сравним двоичное 1011 и восьмеричное 13.

1011 (дв.) = 1·8 + 0·4 + 1·2 + 1·1 = 11 13 (вос.) = 1·8 + 3·1 = 11

Оба числа равны 11 в десятичной системе, значит, они равны между собой, хотя записаны по-разному. Это показывает: внешний вид записи ничего не говорит о величине, пока числа не приведены к общему основанию.

Из таблицы видно: одна и та же запись 101 даёт три разных значения. Поэтому сравнение без перевода невозможно.

Частая ошибка. Нельзя считать, что число с большим количеством цифр всегда больше. Двоичное 1111 (это 15) меньше десятичного 20, хотя цифр в нём больше. Всё решает значение после перевода, а не длина записи.

Полезный приём

Чем меньше основание системы, тем длиннее запись одного и того же числа. Это помогает быстро прикинуть: длинная двоичная запись часто соответствует небольшому десятичному числу.

Ещё один разбор

Сравним шестнадцатеричное 1F и десятичное 30. В шестнадцатеричной системе буква F означает 15.

1F (16) = 1·16 + 15 = 31 30 (10) = 30 Значит, 1F больше, чем 30.

Хотя десятичная запись 30 выглядит «больше» по привычным цифрам, после перевода оказывается, что шестнадцатеричное число крупнее. Это ещё раз подтверждает: судить о величине можно только по приведённым значениям.

Когда переводить не в десятичную

Иногда удобнее привести оба числа не к десятичной, а к двоичной системе — особенно если основания обеих систем являются степенями двойки (как 8 и 16). Тогда перевод выполняется по группам разрядов и идёт быстрее. Но для большинства школьных задач надёжнее всего перевод в десятичную систему, потому что в ней проще не ошибиться при сравнении.

Кратко о главном

• Числа из разных систем нельзя сравнивать по внешнему виду записи.
• Оба числа приводят к одному основанию, обычно к десятичному.
• После перевода сравнивают значения как обычные числа.
• Количество цифр в записи не определяет величину числа.
• Чем меньше основание, тем длиннее запись числа.