Таблица истинности сложного логического выражения
💻 Информатика · 7 класс
Таблица истинности сложного выражения
Логическое выражение может содержать не одну, а сразу несколько операций: И (конъюнкция), ИЛИ (дизъюнкция) и НЕ (отрицание). Чтобы узнать значение такого выражения при всех возможных наборах исходных данных, строят таблицу истинности. В ней перечисляют все комбинации значений переменных и вычисляют результат по шагам, столбец за столбцом.
Логические переменные принимают только два значения: 1 (истина) и 0 (ложь). Поэтому набор значений для нескольких переменных можно перебрать полностью, ничего не пропустив.
Порядок выполнения операций
Операции в логическом выражении выполняются в строго определённом порядке: сначала НЕ, затем И, потом ИЛИ. Скобки меняют этот порядок — то, что записано в скобках, вычисляется в первую очередь. Это очень похоже на обычную арифметику, где умножение выполняется раньше сложения, а действия в скобках — раньше всего остального.
| Операция | Обозначение | Приоритет |
|---|---|---|
| отрицание | НЕ | 1 (первый) |
| конъюнкция | И | 2 |
| дизъюнкция | ИЛИ | 3 (последний) |
Построение по шагам
Построим таблицу истинности для выражения A И (НЕ B). Сначала перечислим все наборы значений двух переменных, затем найдём промежуточный столбец НЕ B, и только потом — итоговый результат всего выражения.
A | B | НЕ B | A И (НЕ B) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
Выражение истинно лишь в одной строке — когда A истинно, а B ложно. Число строк в таблице зависит от числа переменных: для двух переменных это 2^2 = 4 строки, для трёх — 2^3 = 8 строк, для четырёх — уже 16 строк.
Чтобы перебрать все наборы значений ничего не пропустив, удобно записывать их по порядку, как двоичные числа: 00, 01, 10, 11 для двух переменных. Тогда легко проверить, что все комбинации на месте. Таблицы истинности применяют не только в задачах: по ним проверяют, всегда ли два разных выражения дают одинаковый результат, то есть равны ли они между собой. Кроме того, таблицы истинности лежат в основе работы вычислительной техники: логические операции выполняют электронные схемы, и таблица заранее показывает, какой сигнал появится на выходе при любом наборе входных сигналов.
Правило. Чтобы не запутаться, заполняйте таблицу по столбцам: сначала запишите все наборы переменных, затем промежуточные операции (например, отрицания и скобки), и только в самом конце — итоговый столбец. Так ошибка в одном месте не испортит всю работу.
Кратко о главном
- Сложное выражение содержит несколько логических операций.
- Переменные принимают значения 1 (истина) и 0 (ложь).
- Порядок: сначала НЕ, потом И, затем ИЛИ; скобки — раньше всего.
- Число строк таблицы равно 2 в степени числа переменных.
- Таблицу заполняют по столбцам, от простого к итогу.
- В последнем столбце записывают результат всего выражения.