Таблицы истинности логических операций

Что такое таблица истинности

В логике высказывание может быть либо истинным, либо ложным. Истину обозначают единицей (1), ложь — нулём (0). Чтобы показать, как результат логической операции зависит от значений исходных высказываний, составляют таблицу истинности — таблицу, в которой перечислены все возможные наборы значений и итог для каждого из них. Такая таблица полностью описывает операцию: по ней всегда можно сказать, каким будет ответ при любых исходных данных.

Три основные операции

В школьном курсе изучают три действия над высказываниями. У каждого есть и словесное название, и привычный союз русского языка, по которому его легко запомнить.

• Отрицание (НЕ) — меняет значение на противоположное.
• Конъюнкция (И) — истинна, только когда оба высказывания истинны.
• Дизъюнкция (ИЛИ) — ложна, только когда оба высказывания ложны.

Таблицы для операций И и ИЛИ

У двух высказываний A и B бывает четыре набора значений, поэтому в таблице четыре строки. Наборы удобно перечислять по порядку, как двоичные числа от 00 до 11, — тогда ни один набор не потеряется.

Для отрицания таблица короче, ведь высказывание одно: если A равно 0, то «не A» равно 1, и наоборот. Всего две строки.

Сколько строк в таблице

Число строк зависит от количества переменных, которое обозначают буквой n: для одной переменной их 2, для двух — 4, для трёх — 8. Общее правило записывают так:

число строк = 2 в степени n, где n — количество переменных

Это правило связано с тем, что каждая переменная может быть либо нулём, либо единицей, и наборы значений перебираются как все двоичные числа нужной длины. Поэтому для трёх переменных таблица содержит уже восемь строк, и важно перечислить все наборы, ничего не пропустив.

Разобранный пример

Проверим выражение A и (не B) при A = 1, B = 0. Действуем по порядку: сначала вычисляем то, что в скобках, затем основную операцию.

не B = не 0 = 1 A и (не B) = 1 и 1 = 1 Значит, при таких значениях выражение истинно.

Если перебрать так все четыре набора значений A и B, можно построить полную таблицу истинности для этого выражения и увидеть, при каких условиях оно истинно.

Частые ошибки. Путают И и ИЛИ: «И» строже, оно истинно лишь при двух единицах. Пропускают строки и проверяют не все наборы значений. Считают, что отрицание меняет 1 на 2 — на самом деле только на 0. Нарушают порядок и считают основную операцию раньше скобок.

Кратко о главном

• Таблица истинности показывает результат операции для всех наборов значений.
• Истина — это 1, ложь — это 0.
• «И» истинно только при двух единицах, «ИЛИ» ложно только при двух нулях, «НЕ» меняет значение.
• Число строк равно 2 в степени n, где n — количество переменных.
• Сложные выражения считают по порядку: сначала скобки и отрицание, затем И и ИЛИ.