Арифметика в двоичной системе счисления
💻 Информатика · 8 класс
Арифметика в двоичной системе
Двоичная система счисления использует только две цифры — 0 и 1. Именно в ней работает компьютер, ведь его электронные элементы различают всего два состояния. Арифметические действия в двоичной системе выполняются по тем же правилам, что и в десятичной, но с учётом того, что основание системы равно двум.
Каждый разряд двоичного числа называют битом. Как и в десятичной записи, разряды имеют разный вес: чем левее разряд, тем он старше. Перенос при сложении возникает, когда сумма в разряде достигает основания системы, то есть двух.
Умение считать в двоичной системе помогает понять, как именно компьютер выполняет арифметику. Все привычные действия — сложение, вычитание, умножение — внутри машины сводятся к операциям над нулями и единицами. Поэтому двоичная арифметика — не отвлечённая теория, а основа работы процессора.
Таблица сложения
В двоичной системе при сложении единицы с единицей возникает перенос в старший разряд, ведь 1 + 1 = 10 — это двоичная запись числа два. В текущем разряде остаётся 0, а единица переносится дальше.
| Сложение | Результат |
|---|---|
0 + 0 | 0 |
0 + 1 | 1 |
1 + 0 | 1 |
1 + 1 | 10 (ноль и перенос единицы) |
Сложение столбиком
Числа складывают поразрядно справа налево, перенося единицу в следующий разряд, когда сумма достигает двух. Это полностью повторяет привычное сложение в столбик, только с переносом при двойке вместо десятки.
1011+ 110------10001
Проверим результат переводом в десятичную систему: 1011 это 11, 110 это 6, их сумма равна 17, а двоичная запись 10001 это как раз 17. Значит, сложение выполнено верно.
Умножение
Умножение в двоичной системе устроено проще, чем в десятичной, потому что умножать приходится только на 0 и 1. Умножение на 0 даёт 0, а умножение на 1 повторяет само число.
| Умножение | Результат |
|---|---|
0 · 0 | 0 |
0 · 1 | 0 |
1 · 1 | 1 |
Разобранный пример
Умножим 101 на 11 в столбик. Каждую цифру второго множителя умножаем на первое число и складываем результаты со сдвигом, как в десятичной системе.
101× 11-----101101.-----1111
Проверка: число 5 умножить на 3 равно 15, а двоичная запись 1111 это 15. Результат совпал, значит вычисление верно.
Вычитание в двоичной системе тоже выполняется столбиком и похоже на десятичное: при нехватке в разряде занимают единицу из старшего разряда, и она превращается в две единицы младшего. Как и при сложении, удобно проверять результат переводом чисел в десятичную систему, чтобы убедиться в отсутствии ошибок.
Частые ошибки. Забывают про перенос при сложении 1 + 1. Складывают разряды разной значимости, не выровняв числа по правому краю. Не проверяют результат переводом в десятичную систему, из-за чего ошибка остаётся незамеченной.Кратко о главном
- В двоичной системе используются всего две цифры: 0 и 1.
- При сложении
1 + 1 = 10, возникает перенос в старший разряд. - При умножении умножать приходится только на 0 и 1.
- Результат удобно проверять переводом в десятичную систему.