Тетраэдр и его свойства

Тетраэдр и его строение

Тетраэдр — это многогранник, у которого ровно четыре грани, и каждая из них является треугольником. По сути тетраэдр — это треугольная пирамида. Он имеет 4 вершины, 6 рёбер и 4 грани. Тетраэдр считается простейшим из всех многогранников, потому что меньшим числом плоских граней замкнутое тело образовать нельзя. Замечательно, что в тетраэдре любую из четырёх граней можно выбрать в качестве основания, а противоположную ей вершину считать вершиной пирамиды.

Если все грани тетраэдра — равносторонние треугольники, то такой тетраэдр называется правильным. У правильного тетраэдра все шесть рёбер равны между собой, все грани одинаковы, и он обладает высокой симметрией. Не следует путать правильный тетраэдр с произвольной треугольной пирамидой: у последней рёбра и грани могут быть разными.

Медианы и центр тяжести

Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, то есть с центром тяжести этой грани. У тетраэдра четыре медианы — по одной из каждой вершины. Эти медианы обладают важным свойством, аналогичным свойству медиан треугольника на плоскости.

Правило: все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке — центре тяжести тетраэдра. Эта точка делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины. То есть от вершины до центра тяжести три четверти длины медианы.

Объём тетраэдра

Так как тетраэдр является пирамидой, его объём вычисляется по общей формуле объёма пирамиды: V = (1/3)·S_осн·h, где S_осн — площадь выбранного основания, а h — высота, опущенная из противоположной вершины на плоскость этого основания. Рассмотрим числовой пример.

S_осн = 9 см², h = 4 см
V = (1/3) · S_осн · h
V = (1/3) · 9 · 4 = 12 см³

Для правильного тетраэдра с ребром a есть специальная формула, выводящаяся из общей: V = a³·√2 / 12. Например, при a = 6 объём равен V = 216·√2/12 = 18√2 кубических сантиметров, что приблизительно равно 25,5 см³. Высоту правильного тетраэдра тоже выражают через ребро: она равна H = a·√6/3. Эти формулы выводятся один раз и затем применяются как готовые, поэтому их полезно держать в памяти при подготовке к экзамену.

Частые ошибки: считают любой тетраэдр с попарно равными рёбрами правильным, не проверив равносторонность всех граней; забывают множитель 1/3 в формуле объёма; неверно определяют, какая высота соответствует выбранному основанию.

Кратко о главном

• Тетраэдр — это пирамида с треугольным основанием: 4 грани, 6 рёбер и 4 вершины.
• Четыре медианы пересекаются в центре тяжести и делятся в отношении 3:1 от вершины.
• Объём: V = (1/3)·S_осн·h, а для правильного тетраэдра V = a³·√2/12.