Комбинация цилиндра и сферы

Комбинация цилиндра и сферы

В стереометрии часто рассматривают тела вращения вместе с вписанными и описанными сферами. Сфера вписана в цилиндр, если она касается обоих оснований и боковой поверхности. Сфера описана около цилиндра, если проходит через окружности обоих оснований. Такие комбинированные задачи проверяют умение видеть взаимное расположение тел и работать с осевым сечением.

Вписанная сфера

Чтобы сфера касалась обоих оснований и боковой поверхности, цилиндр должен быть равносторонним: его высота равна диаметру основания. В осевом сечении такой цилиндр даёт квадрат, а вписанная сфера — вписанную в квадрат окружность. Тогда радиус сферы равен радиусу цилиндра, а центр сферы совпадает с центром цилиндра.

Условие. Сфера вписывается в цилиндр только если h = 2R, при этом радиус сферы r = R. Если высота больше диаметра, сфера не дотянется до боковой поверхности; если меньше — не дотянется до оснований.

Описанная сфера

Центр описанной сферы лежит на середине оси цилиндра, так как только эта точка равноудалена от всех точек обеих граничных окружностей. Её радиус находят из прямоугольного треугольника, катеты которого — радиус основания R и половина высоты h/2, а гипотенуза — радиус сферы:

R_сф = корень(R^2 + (h/2)^2)

Описанную сферу можно построить вокруг любого цилиндра, тогда как вписанную — только вокруг равностороннего. В этом важное различие двух задач.

Разбор примера

В равносторонний цилиндр с радиусом R = 3 вписана сфера. Тогда h = 6, радиус сферы r = 3. Найдём отношение объёмов:

V_цил = пи * R^2 * h = пи * 9 * 6 = 54пи

V_сф = (4/3)*пи*r^3 = (4/3)*пи*27 = 36пи

Отношение V_сф : V_цил = 36 : 54 = 2 : 3. Это знаменитый результат Архимеда: объём вписанной сферы составляет ровно две трети объёма описанного около неё равностороннего цилиндра. Точно так же относятся и площади их поверхностей: полная поверхность цилиндра равна 2*пи*R*(R+h) = 2*пи*3*9 = 54пи, а поверхность сферы — 4*пи*R^2 = 36пи, и снова получаем отношение 2 : 3. Этим результатом Архимед особенно гордился и завещал изобразить шар и цилиндр на своём надгробии.

Частые ошибки. Вписывают сферу в любой цилиндр без условия h = 2R. Для описанной сферы берут радиус, равный радиусу основания. Путают высоту цилиндра с его диаметром. Забывают взять половину высоты в формуле описанной сферы.

Кратко о главном

• Вписанная сфера существует только при h = 2R.
• Тогда радиус сферы равен радиусу цилиндра.
• Радиус описанной сферы: корень(R^2 + (h/2)^2).
• Центр обеих сфер — середина оси.
• Для равностороннего цилиндра V_сф : V_цил = 2 : 3.