Призматические и пирамидальные поверхности

Многогранные поверхности

Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, называемых гранями. Стороны граней называются рёбрами многогранника, а концы рёбер — его вершинами. Многогранник называется выпуклым, если он целиком лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Куб, призма и пирамида — примеры выпуклых многогранников.

Призматические и пирамидальные поверхности

Понять, как устроены призмы и пирамиды, помогает идея образующей прямой. Призматическая поверхность образуется движением прямой — образующей, которая скользит по некоторой ломаной линии, всё время оставаясь параллельной самой себе. Если такую поверхность ограничить двумя параллельными плоскостями, получится призма с многоугольными основаниями.

Пирамидальная поверхность образуется иначе: образующая прямая всё время проходит через одну постоянную точку — вершину, скользя при этом по ломаной. Если ограничить пирамидальную поверхность плоскостью, не проходящей через вершину, мы получим пирамиду. Таким образом, способ движения образующей определяет, призму или пирамиду мы строим.

Выпуклые многогранники

Правило: у выпуклого многогранника все грани являются выпуклыми многоугольниками, а сумма плоских углов при каждой его вершине обязательно меньше 360°. Если бы сумма равнялась 360°, грани легли бы в одну плоскость и вершины не получилось бы.

Это ограничение на сумму углов при вершине объясняет важнейший факт стереометрии: существует всего пять правильных многогранников (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр). Для других правильных многоугольников углы при вершине либо не укладываются в 360°, либо не дают замкнутого тела.

Разобранный пример

Проверим условие выпуклости для куба, у которого при каждой вершине сходятся три квадрата.

Куб: при каждой вершине сходятся 3 квадрата.
Плоский угол квадрата равен 90°.
Сумма плоских углов = 3 · 90° = 270°.
270° < 360° — условие выпуклости выполнено.

Поскольку сумма меньше 360°, грани не лежат в одной плоскости и образуют настоящую трёхмерную вершину. Так же можно проверить и другие правильные многогранники.

Частые ошибки: называют многогранником тело с криволинейными гранями, например цилиндр; считают, что у выпуклого многогранника сумма плоских углов при вершине может равняться или превышать 360°.

Кратко о главном

• Многогранник состоит из плоских граней, рёбер и вершин.
• Призматическая поверхность образуется параллельным переносом, пирамидальная — движением через одну точку.
• У выпуклого многогранника сумма плоских углов при каждой вершине меньше 360°.