Сфера, описанная около многогранника
📏 Геометрия · 11 класс
Сфера, описанная около многогранника
Описанной около многогранника сферой называют сферу, которая проходит через все его вершины. Центр такой сферы равноудалён от всех вершин, и это расстояние равно радиусу описанной сферы. Описанная сфера — пространственный аналог окружности, описанной около многоугольника на плоскости.
Описать сферу можно не вокруг любого многогранника. Около призмы сферу можно описать только тогда, когда около её основания можно описать окружность и призма прямая. Около любой правильной пирамиды описанная сфера существует всегда, потому что её основание — правильный многоугольник, а вершина проектируется в центр основания.
Где находится центр
Центр описанной сферы лежит на пересечении плоскостей, перпендикулярных рёбрам и проходящих через их середины. Каждая такая плоскость — геометрическое место точек, равноудалённых от двух концов ребра. Удобный приём для тел с осью симметрии: центр лежит на перпендикуляре к плоскости основания, восставленном из центра описанной около основания окружности. Останется найти лишь высоту центра над основанием.
| Тело | Положение центра |
|---|---|
| Прямая призма | на середине оси, соединяющей центры окружностей оснований |
| Правильная пирамида | на высоте (или её продолжении) |
| Куб | в центре куба, R = a*корень(3)/2 |
Метод уравнения для центра на оси
Когда центр сферы лежит на оси тела, его положение находят, приравнивая расстояния от центра до двух разных вершин — обычно до вершины основания и до вершины пирамиды. Получается линейное уравнение относительно высоты центра. Если решение отрицательно, центр лежит по другую сторону от основания, то есть вне тела.
Разбор примера
Около правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания a = 6 и высотой h = 4 описана сфера. Центр лежит на высоте на расстоянии x от основания. Радиус окружности основания: r0 = a*корень(2)/2 = 3*корень(2).
Из равенства расстояний до вершины основания и до вершины пирамиды:
x^2 + r0^2 = (h - x)^2, то есть x^2 + 18 = (4 - x)^2 = 16 - 8x + x^2.
Отсюда 18 = 16 - 8x, 8x = -2, x = -0,25. Центр лежит ниже основания, а радиус R = корень(x^2 + r0^2) = корень(0,0625 + 18) ≈ 4,25. Отрицательное значение x как раз и показывает, что в этой пирамиде центр описанной сферы оказался вне тела.
Частые ошибки. Считают, что центр всегда внутри тела. Около наклонной призмы пытаются описать сферу. Путают радиус описанной сферы с радиусом описанной около основания окружности. Берут высоту пирамиды за радиус сферы.
Кратко о главном
- Описанная сфера проходит через все вершины.
- Центр равноудалён от всех вершин.
- Он лежит на перпендикуляре из центра окружности основания.
- Положение центра ищут из равенства расстояний до вершин.
- Для куба
R = a*корень(3)/2. - Центр может быть и вне многогранника.