Расстояние между скрещивающимися прямыми
📏 Геометрия · 11 класс
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Две прямые в пространстве называют скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. В отличие от параллельных прямых, они не имеют общего направления, а в отличие от пересекающихся — не имеют общей точки. Для скрещивающихся прямых вводят понятие расстояния. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют длину их общего перпендикуляра — отрезка, перпендикулярного обеим прямым.
Общий перпендикуляр для двух скрещивающихся прямых существует и единственен, и он является кратчайшим из всех отрезков, соединяющих точки этих прямых. Именно поэтому его длину и принимают за расстояние: это наименьшая возможная дистанция между точками прямых.
Способы нахождения расстояния
- Через общий перпендикуляр. Строят отрезок, перпендикулярный обеим прямым, и находят его длину. Способ нагляден, но построение бывает сложным.
- Через параллельную плоскость. Проводят плоскость через одну прямую параллельно другой; расстояние равно расстоянию от второй прямой до этой плоскости. Это самый универсальный приём.
- Через две параллельные плоскости. Проводят две параллельные плоскости, каждая через свою прямую; расстояние между прямыми равно расстоянию между плоскостями.
- Координатный способ. Через векторы направлений и формулу с векторным произведением.
| Способ | Когда удобен |
|---|---|
| Общий перпендикуляр | есть явные перпендикулярные направления |
| Параллельная плоскость | прямые — рёбра многогранника |
| Две плоскости | прямые симметричны в теле |
| Координаты | тело легко поместить в систему координат |
Разбор примера
В кубе с ребром a = 2 найдём расстояние между двумя скрещивающимися рёбрами, не имеющими общих точек, например между ребром нижней грани и непараллельным ему ребром верхней грани, проходящим над соседней вершиной.
Если расположить рёбра как отрезки AB и CC1, то общий перпендикуляр соединяет их и его длина равна ребру куба: d = 2. Для более сложных пар, например для диагонали грани и ребра, используют параллельную плоскость: проводят плоскость через ребро параллельно диагонали и находят расстояние от диагонали до этой плоскости как длину перпендикуляра.
Правило. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до плоскости, проведённой через вторую прямую параллельно первой.
Координатная формула
Если у прямых есть направляющие векторы и взята точка на каждой прямой, расстояние равно модулю смешанного произведения вектора между точками и двух направляющих, делённому на модуль их векторного произведения. Этот способ не требует построений и потому удобен в кубе и параллелепипеде.
Частые ошибки. Считают расстоянием длину произвольного отрезка между прямыми. Забывают проверить параллельность плоскости второй прямой. Путают скрещивающиеся прямые с пересекающимися. Берут угол между прямыми вместо расстояния.
Кратко о главном
- Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости.
- Расстояние — длина общего перпендикуляра.
- Общий перпендикуляр единственен и кратчайший.
- Удобен метод параллельной плоскости.
- В координатах используют векторное произведение направлений.