Подобие тел и отношение объёмов

Подобие пространственных фигур

Две пространственные фигуры называются подобными, если одна из них получается из другой преобразованием подобия — то есть равномерным растяжением или сжатием относительно некоторой точки с определённым коэффициентом k. При таком преобразовании все расстояния между соответственными точками умножаются на одно и то же число k, а все углы между соответственными прямыми сохраняются без изменения.

Число k называется коэффициентом подобия. Если k больше единицы, фигура увеличивается, если меньше — уменьшается. Например, любые два шара подобны между собой, любые два куба подобны, а две правильные пирамиды подобны тогда, когда подобны их основания и равны углы при вершинах. Подобие — это пространственный аналог подобия треугольников на плоскости. Заметим, что равные фигуры — это частный случай подобных, у которых коэффициент подобия равен единице.

Как меняются длины, площади и объёмы

Главное практическое свойство подобия связано с тем, как при изменении линейных размеров меняются производные величины — площади и объёмы. Длины зависят от размера линейно, площади — квадратично, а объёмы — кубически.

Правило: при подобии с коэффициентом k все длины умножаются на k, все площади — на k², а все объёмы — на k³. Это касается любых соответственных элементов фигур.

Разобранный пример

Два подобных конуса имеют высоты 3 см и 9 см. Сначала найдём коэффициент подобия как отношение соответственных линейных размеров, а затем — отношения площадей и объёмов.

k = 9 / 3 = 3
Отношение площадей поверхности = k² = 9
Отношение объёмов = k³ = 27

Значит, площадь поверхности большего конуса в 9 раз больше, а объём — в 27 раз больше, чем у меньшего. Это наглядно показывает, как быстро растёт объём при увеличении линейных размеров.

Рассмотрим обратную задачу. Пусть объём одного тела в 8 раз больше объёма другого, подобного ему. Тогда k³ = 8, откуда k = 2, то есть линейные размеры отличаются ровно вдвое, а площади поверхности — в четыре раза. Этот факт важен в практике: например, если увеличить все размеры модели вдвое, расход материала на поверхность вырастет вчетверо, а масса (при той же плотности) — в восемь раз.

Частые ошибки: множат объём на k или на k² вместо k³; забывают, что при увеличении линейного размера вдвое объём вырастает в восемь раз; путают коэффициент подобия с отношением объёмов.

Кратко о главном

• Подобие задаётся коэффициентом k, при этом все углы сохраняются.
• Длины масштабируются как k, площади — как k², объёмы — как k³.
• По отношению объёмов можно найти коэффициент k, извлекая кубический корень.