Угол между скрещивающимися прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми

Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Из этого определения следует, что скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны — это особое, чисто пространственное расположение прямых, которого не бывает на плоскости. У таких прямых нет общей точки, но, несмотря на это, угол между ними определить можно и нужно.

Правило: углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным. Этот угол не зависит от выбора точки, через которую проводят параллельные прямые, и его всегда берут не больше 90°.

Как находить угол

Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, через любую удобную точку пространства проводят две прямые, параллельные данным. Эти две прямые уже пересекаются, и угол между ними измеряют обычным способом. На практике чаще поступают проще: через какую-то точку одной из прямых проводят прямую, параллельную второй, — и сразу получают нужный угол. Выбор точки делают так, чтобы построение оказалось наглядным, например в вершине куба или призмы. Часто скрещивающиеся прямые — это рёбра или диагонали многогранника, и тогда параллельную прямую находят среди уже имеющихся рёбер, что заметно упрощает решение. После построения остаётся применить теорему косинусов или известные соотношения в полученном треугольнике.

Координатный способ

Если для прямых известны их направляющие векторы a и b, то косинус угла между прямыми удобно находить через скалярное произведение этих векторов. В числителе ставят модуль скалярного произведения, чтобы угол гарантированно получился острым или прямым.

cos α = |a · b| / (|a| · |b|)

Пример: a = (1; 0; 0), b = (1; 1; 0)
a · b = 1·1 + 0·1 + 0·0 = 1
|a| = 1, |b| = √2
cos α = 1 / (1·√2) = 1/√2
α = 45°

Таким образом, угол между прямыми с направляющими векторами a и b равен 45°. Координатный метод особенно удобен в задачах, где прямые заданы точками в системе координат, ведь тогда направляющие векторы находятся вычитанием координат.

Частые ошибки: считают параллельные прямые скрещивающимися; забывают взять модуль скалярного произведения и в итоге получают тупой угол вместо острого; путают направляющий вектор прямой с вектором нормали к плоскости.

Кратко о главном

• Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости: не пересекаются и не параллельны.
• Угол между ними — это угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным.
• В координатах: cos α = |a · b| / (|a|·|b|), угол не превосходит 90°.