Сфера, вписанная в многогранник

Сфера, вписанная в многогранник

Вписанной в многогранник сферой называют сферу, которая касается всех его граней. Центр такой сферы равноудалён от всех плоскостей граней, а это общее расстояние равно радиусу вписанной сферы. Каждая грань является касательной плоскостью к сфере, а точки касания лежат внутри граней.

Вписать сферу можно не во всякий многогранник. Например, в любую правильную пирамиду и в любой правильный многогранник вписанная сфера существует, а в произвольную призму — не всегда. Условие существования связано с тем, чтобы биссекторные плоскости всех двугранных углов пересекались в одной точке.

Положение центра

Центр вписанной сферы лежит на пересечении биссекторных плоскостей двугранных углов многогранника. Биссекторная плоскость двугранного угла состоит из точек, равноудалённых от его граней, поэтому точка пересечения таких плоскостей равноудалена сразу от всех граней. Для правильной пирамиды центр находится на высоте, а его положение задаётся углом наклона боковой грани к основанию.

Универсальная формула радиуса

Объём многогранника можно разбить на пирамиды с вершиной в центре сферы и основаниями-гранями. Высота каждой такой пирамиды равна радиусу r, ведь радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен грани. Сумма объёмов этих пирамид даёт объём всего тела.

Формула. V = (1/3) * r * S, где S — площадь полной поверхности. Значит, r = 3V / S. Эта формула универсальна и работает для любого описанного многогранника.

Радиус вписанной сферы пирамиды

Для правильной пирамиды формулу можно записать через апофему и угол наклона боковой грани. Если r0 — радиус вписанной в основание окружности, а β — двугранный угол при основании, то радиус вписанной сферы равен r = r0 * tg(β/2). Эта запись удобна, когда даны углы, а не объём.

Разбор примера

В куб с ребром a = 6 вписана сфера. Её диаметр равен ребру куба, поэтому r = 3. Проверим универсальной формулой:

V = 6^3 = 216, S = 6 * 6^2 = 216, r = 3 * 216 / 216 = 3.

Результаты совпали, что подтверждает правильность формулы. Заметим, что объём вписанной сферы составляет лишь часть объёма куба: V_сф = (4/3)*пи*27 = 36пи ≈ 113, то есть чуть больше половины объёма куба.

Частые ошибки. Считают, что сфера вписывается в любую призму. Путают радиус вписанной сферы с радиусом окружности, вписанной в основание. Берут площадь одной грани вместо полной поверхности. Забывают разделить утроенный объём на полную, а не боковую поверхность.

Кратко о главном

• Вписанная сфера касается всех граней.
• Центр равноудалён от плоскостей всех граней.
• Центр — пересечение биссекторных плоскостей углов.
• Универсально: r = 3V / S.
• Для куба радиус равен половине ребра.
• Не во всякий многогранник можно вписать сферу.