Площадь ортогональной проекции многоугольника

Площадь ортогональной проекции многоугольника

Ортогональной проекцией фигуры на плоскость называют фигуру, получаемую опусканием перпендикуляров из всех её точек на эту плоскость. Если плоскость фигуры параллельна плоскости проекции, проекция равна самой фигуре. Чем сильнее наклонена плоскость фигуры, тем сильнее сжимается её проекция в одном направлении, а значит, уменьшается и площадь.

Теорема о площади проекции

Теорема. Площадь ортогональной проекции многоугольника равна площади самого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции: S_пр = S * cos(α).

Идея доказательства проста: при проектировании размеры вдоль линии пересечения плоскостей не меняются, а перпендикулярные к ней размеры умножаются на косинус угла. Поэтому и площадь умножается на тот же косинус. Из теоремы вытекает обратное применение: если известны площадь проекции и угол, можно найти площадь самой фигуры, а если известны обе площади — найти двугранный угол по формуле cos(α) = S_пр / S.

Где применяется теорема

Чаще всего теорему используют, чтобы найти площадь наклонного сечения через его проекцию или, наоборот, найти угол наклона сечения. Если сечение многогранника трудно вычислить напрямую, его проектируют на основание, площадь проекции находят как площадь обычной плоской фигуры, а затем делят на косинус угла.

Разбор примера

Сечение куба представляет собой правильный треугольник со стороной a*корень(2). Найдём угол между плоскостью сечения и основанием, если площадь проекции сечения на основание известна.

Пусть площадь сечения S = 8*корень(3), а площадь его проекции S_пр = 4*корень(3). Тогда:

cos(α) = S_пр / S = 4*корень(3) / (8*корень(3)) = 0,5, значит α = 60°.

Тот же приём работает и в обратную сторону: зная угол α = 60° и площадь сечения, мы сразу получили бы площадь проекции S_пр = S * 0,5 = 4*корень(3). А если бы по условию были даны обе площади, мы нашли бы двугранный угол между плоскостью сечения и основанием, что часто и требуется в задачах второй части экзамена. Так одна теорема связывает сразу три величины: площадь фигуры, площадь её проекции и угол наклона.

Частые ошибки. Используют синус угла вместо косинуса. Берут угол между прямыми, а не между плоскостями. Применяют теорему к неплоской фигуре. Проектируют на наклонную плоскость, а не на плоскость проекции.

Кратко о главном

• Проекция получается опусканием перпендикуляров на плоскость.
• Главная формула: S_пр = S * cos(α).
• Угол берут между плоскостями фигуры и проекции.
• По двум площадям находят двугранный угол.
• При α = 90° проекция вырождается в отрезок.