Двугранный угол и угол между плоскостями

Двугранный угол

Двугранный угол — это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой. Общая прямая называется ребром двугранного угла, а полуплоскости — его гранями. Двугранные углы встречаются в задачах постоянно: например, угол между смежными гранями многогранника или угол между боковой гранью пирамиды и её основанием — это всегда двугранные углы. Чтобы измерить такой угол числом, вводят его линейный угол.

Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя лучами, проведёнными в его гранях из одной точки ребра перпендикулярно ребру. Величина линейного угла не зависит от выбора точки на ребре.

Угол между плоскостями

Углом между двумя пересекающимися плоскостями называют наименьший из двугранных углов, образованных при их пересечении. Поэтому он всегда заключён между 0° и 90°. Если плоскости параллельны или совпадают, угол между ними считают равным 0°. Если две плоскости перпендикулярны, любой из их двугранных углов равен 90°.

Как найти линейный угол

Типичный приём: выбрать на ребре удобную точку, из неё в каждой грани провести перпендикуляр к ребру и измерить угол между этими перпендикулярами. Часто удобно опереться на теорему о трёх перпендикулярах, чтобы корректно построить перпендикуляры к ребру, отталкиваясь от уже известного перпендикуляра к одной из плоскостей. В пирамидах для угла между боковой гранью и основанием таким лучом обычно служит апофема.

Координатный способ

Если у плоскостей найдены нормальные векторы n₁ и n₂, то угол между плоскостями находят по формуле через косинус:

cos φ = |n₁ · n₂| / (|n₁| · |n₂|). Модуль скалярного произведения нужен, чтобы результат был именно острым углом.

Разобранный пример

Нормали плоскостей n₁ = (1; 0; 0) и n₂ = (1; 1; 0). Найдём угол между плоскостями.

n₁ · n₂ = 1·1 + 0·1 + 0·0 = 1

|n₁| = 1, |n₂| = √2

cos φ = |1| / (1 · √2) = 1/√2, значит φ = 45°.

Двугранный угол при основании пирамиды

Один из самых частых сюжетов — двугранный угол между боковой гранью и основанием пирамиды. Его линейный угол строится так: в боковой грани проводят апофему к стороне основания, а в плоскости основания из той же точки — отрезок к центру (для правильной пирамиды это радиус вписанной окружности). Угол между апофемой и этим радиусом и есть линейный угол двугранного угла при основании, а его тангенс равен отношению высоты пирамиды к радиусу вписанной в основание окружности: tg φ = h / r.

Если же нужен угол между двумя соседними боковыми гранями, линейный угол строят перпендикулярами к их общему ребру; здесь геометрическое построение часто сложнее, и координатный метод через нормали оказывается надёжнее. Поэтому выбор способа зависит от того, насколько удобно в данном теле провести перпендикуляры к ребру.

Частые ошибки. Проводят лучи не перпендикулярно ребру и получают неверный линейный угол; в координатной формуле теряют модуль и получают тупой угол вместо острого; путают двугранный угол с плоским углом между прямыми; берут синус вместо косинуса.

Кратко о главном

• Двугранный угол измеряют его линейным углом.
• Лучи линейного угла перпендикулярны ребру и выходят из одной его точки.
• Угол между плоскостями — наименьший двугранный, от 0° до 90°.
• В координатах: cos φ = |n₁ · n₂| / (|n₁|·|n₂|).