Шар и сфера: площадь поверхности и объём

Шар и сфера

Сфера — это поверхность, состоящая из всех точек пространства, удалённых от данной точки (центра) на одно и то же расстояние — радиус R. Шар — тело, ограниченное сферой, то есть множество всех точек, расстояние от которых до центра не больше R. Таким образом, сфера — это граница (поверхность), а шар — заполненное тело. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром и равен 2R.

Шар — единственное из тел вращения, которое получается вращением полукруга вокруг его диаметра. Все осевые сечения шара одинаковы — это большие круги.

Площадь сферы: S = 4πR². Объём шара: V = (4/3)πR³.

Сечения шара

Любое сечение шара плоскостью — это круг. Если плоскость проходит через центр, получается большой круг радиуса R — это сечение наибольшей площади. Если плоскость удалена от центра на расстояние d (где d < R), то радиус сечения находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника с гипотенузой R и катетом d: r = √(R² − d²). При d = R плоскость касается сферы, и сечение вырождается в точку.

Касательная плоскость

Касательная плоскость имеет со сферой ровно одну общую точку — точку касания. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости. Это свойство — основной инструмент в задачах на вписанные и описанные тела: например, сфера, вписанная в куб, касается каждой грани в её центре, а радиус сферы равен половине ребра.

Разобранный пример

Радиус шара R = 3. Найдём площадь сферы и объём шара.

S = 4πR² = 4π·9 = 36π

V = (4/3)πR³ = (4/3)π·27 = 36π

Сечение на расстоянии d = 2 от центра: r = √(9 − 4) = √5, его площадь равна 5π.

Вписанные и описанные шары

Тема шара тесно связана с многогранниками. Вписанный шар касается всех граней тела изнутри, а описанный шар проходит через все его вершины. Например, радиус шара, описанного около куба с ребром a, равен половине диагонали куба: R = (a·√3)/2. Радиус шара, вписанного в тот же куб, равен половине ребра: r = a/2. Чтобы найти такие радиусы, обычно рассматривают подходящее осевое сечение, превращая объёмную задачу в планиметрическую.

Сравнение объёмов разных тел — ещё один типичный сюжет. Так, объём шара составляет ровно две трети объёма описанного около него цилиндра с той же высотой и радиусом — этот результат известен ещё со времён Архимеда и часто используется как контроль правильности вычислений.

Частые ошибки. Путают формулы площади и объёма; забывают возводить радиус в куб в объёме; называют шаром поверхность, а сферой тело; теряют квадрат в формуле радиуса сечения; подставляют диаметр вместо радиуса.

Кратко о главном

• Сфера — поверхность, шар — тело внутри неё.
• Площадь сферы: S = 4πR².
• Объём шара: V = (4/3)πR³.
• Сечение шара плоскостью — круг радиуса r = √(R² − d²).
• Радиус в точку касания перпендикулярен касательной плоскости.