Шаровой сегмент, слой и сектор

Части шара

Шар и сферу можно разрезать плоскостями, получая при этом особые геометрические тела. Если шар рассечь одной плоскостью, он распадётся на две части, и каждая такая часть называется шаровым сегментом. Таким образом, шаровой сегмент — это часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Меньшую часть обычно и называют сегментом, но формулы справедливы для любой из двух частей.

Если же шар рассечь двумя параллельными плоскостями, то часть шара, заключённая между ними, называется шаровым слоем. Наконец, шаровой сектор получается вращением плоского кругового сектора вокруг диаметра шара; он состоит из шарового сегмента и конуса, у которых общее основание. Все эти тела часто встречаются в задачах на объёмы.

Основные обозначения

Обозначим радиус шара R, высоту сегмента h и радиус основания сегмента r. Эти величины связаны соотношением, которое вытекает из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника внутри шара: r² = h·(2R − h). Зная два из трёх параметров, всегда можно найти третий, поэтому в задачах часто сначала выписывают именно эту связь.

Формулы объёмов

Здесь r_1 и r_2 — радиусы двух оснований шарового слоя, а h в каждой строке — высота соответствующего тела. Обратите внимание, что объём сектора выражается через радиус самого шара, а не через радиус основания сегмента.

Правило: объём шарового сектора всегда вычисляется через радиус шара R и высоту сегмента h по формуле V_сек = (2/3)·π·R²·h, а не через радиус основания. Это удобно запомнить как «две трети от цилиндра высотой h».

Разобранный пример

Найдём объём сегмента шара радиуса R = 6 см с высотой h = 2 см. Подставим значения в формулу сегмента и аккуратно выполним действия.

V_сег = π·h²·(R − h/3)
V_сег = π·2²·(6 − 2/3)
V_сег = π·4·(16/3)
V_сег = 64π/3 ≈ 67 см³

Теперь найдём объём соответствующего шарового сектора с той же высотой сегмента:

V_сек = (2/3)·π·R²·h
V_сек = (2/3)·π·36·2
V_сек = 48π ≈ 150,8 см³

Видно, что сектор больше сегмента, ведь к сегменту добавляется ещё и конус с вершиной в центре шара.

Частые ошибки: подставляют в формулу объёма сегмента радиус основания вместо радиуса шара; забывают делить высоту на три в скобке (R − h/3); путают слой и сегмент при двух секущих плоскостях.

Кратко о главном

• Сегмент — часть шара, отсечённая одной плоскостью.
• Слой — часть шара между двумя параллельными плоскостями.
• Сектор — это сегмент вместе с конусом, его объём V_сек = (2/3)·π·R²·h.
• Связь радиусов и высоты: r² = h·(2R − h).