Объём пирамиды и усечённой пирамиды

Объём пирамиды

Пирамида — многогранник, у которого одно основание-многоугольник, а боковые грани — треугольники с общей вершиной. Эту общую точку называют вершиной пирамиды, а отрезки от неё к вершинам основания — боковыми рёбрами. Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания. Объём пирамиды в три раза меньше объёма призмы с тем же основанием и той же высотой — это ключевой факт темы.

Историческая основа формулы — вывод, что три пирамиды равного объёма складываются в призму. Поэтому в формуле появляется множитель одна треть.

Объём пирамиды: V = (1/3) · S · h, где S — площадь основания, h — высота.

Где находится высота

В правильной пирамиде основание — правильный многоугольник, а высота попадает точно в его центр (центр вписанной и описанной окружностей). У такой пирамиды все боковые рёбра равны, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани, проведённая из вершины к основанию, называется апофема. Не путайте апофему с высотой пирамиды: апофема, высота и радиус вписанной окружности основания связаны теоремой Пифагора, поэтому апофема всегда больше высоты.

Усечённая пирамида

Усечённая пирамида получается, если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, и отбросить верхнюю малую пирамиду. У неё два параллельных основания — подобные многоугольники с площадями S₁ и S₂. Боковые грани усечённой пирамиды — трапеции.

Объём усечённой пирамиды: V = (1/3) · h · (S₁ + S₂ + √(S₁·S₂)). Слагаемое √(S₁·S₂) — среднее геометрическое площадей оснований.

Заметим, что если верхнее основание стянуть в точку, то есть положить S₂ = 0, формула усечённой пирамиды превращается в обычную: остаётся только (1/3)·h·S₁. Это удобный способ проверить, что формула выписана верно.

Как искать высоту в задачах

В реальных задачах высота обычно не дана напрямую, и её приходится находить. Если известно боковое ребро b правильной пирамиды и радиус описанной около основания окружности R, то высота находится по теореме Пифагора: h = √(b² − R²). Если же дана апофема m и радиус вписанной в основание окружности r, то h = √(m² − r²). Поэтому решение задачи на объём почти всегда начинается с поиска высоты через подходящий прямоугольный треугольник.

Разобранный пример

В основании пирамиды лежит квадрат со стороной 6, высота равна 9. Найдём площадь основания и объём.

S = 6² = 36

V = (1/3) · 36 · 9 = 108

Теперь усечённая пирамида с квадратными основаниями со сторонами 6 и 3 и высотой 4: S₁ = 36, S₂ = 9, √(S₁·S₂) = 18, тогда V = (1/3)·4·(36 + 9 + 18) = (1/3)·4·63 = 84.

Частые ошибки. Забывают множитель 1/3 и считают как для призмы; берут вместо высоты боковое ребро или апофему; в усечённой пирамиде пропускают слагаемое √(S₁·S₂) или складывают площади без среднего геометрического.

Кратко о главном

• Объём пирамиды: V = (1/3)·S·h.
• Высота — перпендикуляр из вершины на плоскость основания, не путать с апофемой.
• В правильной пирамиде высота попадает в центр основания, а боковые рёбра равны.
• Объём усечённой пирамиды содержит среднее геометрическое площадей оснований.