Площадь поверхности призмы и параллелепипеда

Площадь поверхности призмы и параллелепипеда

Призмой называют многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы. Отрезок, соединяющий соответственные вершины оснований, называют боковым ребром, а перпендикуляр между плоскостями оснований — высотой призмы. Площадь поверхности складывается из боковой поверхности и площадей двух оснований.

Прямая и наклонная призма

Призму называют прямой, если её боковые рёбра перпендикулярны основаниям; иначе призму называют наклонной. У прямой призмы боковое ребро равно высоте, а боковые грани — прямоугольники. У наклонной призмы боковое ребро длиннее высоты, а боковые грани — произвольные параллелограммы. Призму называют правильной, если она прямая и в её основании лежит правильный многоугольник.

Боковая поверхность прямой призмы

У прямой призмы площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту. Это видно из того, что развёртка боковой поверхности — прямоугольник со сторонами P и h.

Формула. Для прямой призмы S_бок = P * h, а полная поверхность S_полн = S_бок + 2*S_осн, где P — периметр основания, h — высота, S_осн — площадь основания.

Наклонная призма

У наклонной призмы боковое ребро не перпендикулярно основанию, и формула с периметром основания уже не работает. Для неё боковая поверхность равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро. Перпендикулярное сечение — это сечение, перпендикулярное боковым рёбрам.

Разбор примера

Прямая призма имеет в основании равносторонний треугольник со стороной a = 4 и высоту h = 10. Найдём полную поверхность.

Периметр основания: P = 3*4 = 12. Боковая поверхность: S_бок = 12*10 = 120.

Площадь основания: S_осн = (a^2 * корень(3)) / 4 = (16*корень(3))/4 = 4*корень(3).

Полная поверхность: S_полн = 120 + 2*4*корень(3) = 120 + 8*корень(3). Численно это примерно 133,9 квадратных единицы, причём основной вклад даёт боковая поверхность. Если бы та же призма была наклонной с тем же основанием, но боковым ребром l = 12, для боковой поверхности пришлось бы строить перпендикулярное сечение и умножать его периметр на длину ребра, а площади оснований остались бы прежними.

Частые ошибки. Применяют формулу P*h к наклонной призме. Забывают прибавить два основания. Путают высоту призмы с боковым ребром у наклонной призмы. Считают периметр основания, забыв про все его стороны.

Кратко о главном

• Полная поверхность: S_бок + 2*S_осн.
• Для прямой призмы S_бок = P * h.
• Для наклонной — P_сеч * l.
• У прямоугольного параллелепипеда S_полн = 2(ab + bc + ac).
• Высота и боковое ребро совпадают только у прямой призмы.