Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Это самое короткое из всех возможных расстояний от данной точки до точек плоскости: любой другой отрезок, соединяющий точку с плоскостью, будет длиннее. Понятие расстояния от точки до плоскости — одно из ключевых в стереометрии, оно используется при вычислении высот, объёмов и при решении многих задач.

Основание перпендикуляра, то есть точка, в которой перпендикуляр встречает плоскость, называется ортогональной проекцией точки на плоскость. Отрезки, проведённые из точки к плоскости под углом, называются наклонными. Любая наклонная длиннее перпендикуляра, проведённого из той же точки.

Правило: перпендикуляр всегда короче любой наклонной, проведённой из той же точки к той же плоскости. При этом равные наклонные имеют равные проекции, а из двух наклонных больше та, у которой больше проекция.

Способы нахождения

Метод объёма основан на формуле V = (1/3)·S_осн·h: если объём пирамиды и площадь её основания известны, то искомое расстояние находят как высоту h = 3V/S_осн. Этот приём часто выручает, когда построить перпендикуляр напрямую трудно.

Координатная формула

Если плоскость задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0, а точка имеет координаты (x_0; y_0; z_0), то расстояние от точки до плоскости вычисляется по компактной формуле через координаты и коэффициенты уравнения плоскости.

d = |A·x_0 + B·y_0 + C·z_0 + D| / √(A² + B² + C²)

Пример: плоскость 2x − y + 2z − 6 = 0, точка (1; 2; 3).
Числитель = |2·1 − 2 + 2·3 − 6| = |2 − 2 + 6 − 6| = 0
d = 0 / 3 = 0 — точка лежит на плоскости.

Для точки (4; 0; 0):
Числитель = |2·4 − 0 + 0 − 6| = |8 − 6| = 2
Знаменатель = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3
d = 2 / 3 ≈ 0,67

Если в результате получился ноль, это означает, что точка принадлежит плоскости. Чем больше числитель, тем дальше точка от плоскости. Знаменатель формулы — это длина вектора нормали к плоскости с координатами (A; B; C); он показывает, как «нормирован» вектор нормали, и поэтому стоит в делителе. Координатный метод особенно ценен в задачах единого государственного экзамена, где плоскость задаётся точками куба или призмы: достаточно ввести систему координат, найти уравнение плоскости и подставить координаты точки.

Частые ошибки: забывают взять модуль в числителе и получают отрицательное «расстояние»; неверно вычисляют длину вектора нормали в знаменателе; принимают за расстояние длину наклонной, а не перпендикуляра.

Кратко о главном

• Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра к плоскости.
• Перпендикуляр короче любой наклонной из той же точки.
• В координатах: d = |A·x_0 + B·y_0 + C·z_0 + D| / √(A²+B²+C²).