Развёртки многогранников и тел вращения

Что такое развёртка

Развёрткой тела называется плоская фигура, которую получают, разрезав поверхность тела по некоторым линиям и развернув её на плоскость без растяжений, разрывов и складок. Иными словами, развёртка — это «выкройка» поверхности тела. Очень важное свойство: площадь развёртки в точности равна площади полной поверхности исходного тела, поэтому развёртки удобно использовать для вычисления площадей.

Развёртки многогранников

Развёртка прямой призмы состоит из двух равных оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность прямой призмы при развёртывании превращается в прямоугольник, одна сторона которого равна высоте призмы, а другая — периметру основания. Развёртка пирамиды устроена иначе: она состоит из основания и нескольких боковых граней-треугольников, которые примыкают к сторонам основания своими нижними сторонами.

Развёртки тел вращения

Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник: одна его сторона равна высоте цилиндра h, а другая — длине окружности основания 2πR. Это легко представить, если мысленно разрезать боковую поверхность вдоль образующей и распрямить её. Боковая поверхность конуса при развёртывании превращается в круговой сектор: радиус сектора равен образующей конуса l, а длина дуги сектора равна длине окружности основания 2πR.

Правило: центральный угол развёртки боковой поверхности конуса равен φ = 2π·R/l радиан, где R — радиус основания, а l — образующая. Чем «острее» конус, тем меньше этот угол.

Разобранный пример

Построим развёртку боковой поверхности цилиндра с радиусом R = 4 см и высотой h = 10 см и найдём её площадь.

Цилиндр: R = 4 см, h = 10 см.
Развёртка боковой поверхности — прямоугольник.
Стороны: 2πR = 2π·4 = 8π см и h = 10 см.
S_бок = 8π · 10 = 80π ≈ 251 см²

Если же нужно найти полную поверхность, к боковой добавляют два круга оснований: S_полн = S_бок + 2·πR². В нашем примере S_полн = 80π + 2·π·16 = 80π + 32π = 112π ≈ 352 см². Развёртка наглядно объясняет, почему боковая поверхность считается именно так: разрезанная и распрямлённая поверхность превращается в простую плоскую фигуру, площадь которой легко вычислить по школьным формулам.

Частые ошибки: берут радиус развёртки конуса равным радиусу основания, а не образующей; забывают, что развёртка должна укладываться на плоскость без наложений; путают высоту и образующую при построении.

Кратко о главном

• Развёртка — это поверхность тела, развёрнутая на плоскость без искажений.
• Площадь развёртки равна площади полной поверхности тела.
• Цилиндр даёт прямоугольник со сторонами 2πR и h, конус — круговой сектор радиуса l.