Теорема Эйлера для многогранников

Теорема Эйлера для многогранников

Для выпуклых многогранников существует простое и красивое соотношение между числом их элементов. Теорема Эйлера связывает число вершин, рёбер и граней любого выпуклого многогранника единым равенством, которое не зависит от формы и размеров тела. Это одно из первых утверждений топологии — раздела геометрии, изучающего свойства фигур, сохраняющиеся при деформациях.

Теорема. Для любого выпуклого многогранника В - Р + Г = 2, где В — число вершин, Р — число рёбер, Г — число граней.

Проверка на знакомых телах

Соотношение легко проверяется на простых многогранниках. Подставим значения и убедимся, что в каждом случае сумма даёт двойку. Удобно сначала аккуратно сосчитать вершины, рёбра и грани, а затем подставить.

Полезные соотношения для подсчёта

При решении задач помогают два правила. Во-первых, если перемножить число граней на количество сторон каждой грани, получится удвоенное число рёбер, потому что каждое ребро общее для двух граней. Во-вторых, если перемножить число вершин на количество сходящихся в каждой вершине рёбер, тоже получится удвоенное число рёбер, ведь каждое ребро соединяет ровно две вершины.

Применение теоремы

Теорема помогает находить недостающее число элементов, не строя многогранник. Если известны два из трёх чисел, третье вычисляют по формуле. Особенно удобно это для правильных и полуправильных тел, где у всех граней одинаковое число сторон.

Разбор примера

У выпуклого многогранника 12 граней, каждая из которых пятиугольник (додекаэдр). Найдём число рёбер и вершин.

Каждая грань имеет 5 рёбер, каждое ребро принадлежит двум граням, поэтому Р = (12 * 5) / 2 = 30.

Из теоремы: В = 2 + Р - Г = 2 + 30 - 12 = 20. Значит, у додекаэдра 20 вершин и 30 рёбер. Проверка: в каждой вершине сходятся три ребра, и 20 * 3 / 2 = 30 — совпадает.

Почему правильных многогранников ровно пять

Теорема Эйлера помогает доказать, что существует ровно пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Если все грани — одинаковые правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер, то подстановка этих условий в формулу В - Р + Г = 2 оставляет лишь пять допустимых наборов. Любая другая комбинация даёт противоречие, например приводит к нецелому или отрицательному числу граней. Так чисто арифметическое соотношение объясняет глубокий геометрический факт, известный ещё со времён древних греков.

Частые ошибки. Применяют формулу к невыпуклым телам с отверстиями. При подсчёте рёбер забывают, что каждое ребро общее для двух граней. Путают местами число граней и вершин. Забывают разделить произведение на два.

Кратко о главном

• Формула Эйлера: В - Р + Г = 2.
• Верна для всех выпуклых многогранников.
• Каждое ребро принадлежит ровно двум граням.
• По двум числам находят третье.
• Для тел с отверстиями формула меняется.