Тела вращения: получение и объём

Тела вращения

Телом вращения называется тело, которое получается при вращении плоской фигуры вокруг прямой — оси вращения, лежащей в плоскости этой фигуры. При вращении каждая точка фигуры описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси, а центр лежит на оси. Основные тела вращения, изучаемые в школьном курсе стереометрии, — это цилиндр, конус и шар.

Цилиндр образуется при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Шар образуется при вращении полукруга вокруг его диаметра. Понимание того, какая фигура и вокруг какой оси вращается, помогает правильно определить радиус и высоту получившегося тела.

Как образуются тела

Объёмы тел вращения

Правило: при вращении фигуры каждая её точка описывает окружность; радиус этой окружности равен расстоянию от точки до оси вращения. Точки на оси остаются неподвижными.

Запишем формулы объёмов основных тел вращения. В каждой из них R — радиус, а h — высота тела.

• Цилиндр: V = π·R²·h
• Конус: V = (1/3)·π·R²·h
• Шар: V = (4/3)·π·R³

Площадь боковой поверхности цилиндра равна S_бок = 2π·R·h, а конуса — S_бок = π·R·l, где l — образующая конуса. Полная поверхность каждого тела получается прибавлением площадей оснований: у цилиндра двух кругов, у конуса одного. Эти формулы удобно выводить именно из представления о вращении: каждая точка контура фигуры описывает окружность, и из таких окружностей складывается поверхность.

Разобранный пример

Пусть прямоугольник со сторонами 5 и 3 вращают вокруг стороны длиной 5. Определим параметры получившегося тела и его объём.

Прямоугольник со сторонами 5 и 3, ось — сторона 5.
Получается цилиндр: радиус R = 3, высота h = 5.
V = π·R²·h = π·9·5 = 45π ≈ 141 см³
S_бок = 2πR·h = 2π·3·5 = 30π ≈ 94 см²

Сторона, вокруг которой идёт вращение, становится высотой цилиндра, а перпендикулярная ей сторона — радиусом. Если бы вращение шло вокруг стороны 3, получился бы другой цилиндр: с радиусом 5 и высотой 3, и его объём был бы равен V = π·25·3 = 75π ≈ 236 см³. Видно, что от выбора оси вращения результат сильно зависит, поэтому в задаче всегда важно точно определить, какая сторона служит осью.

Частые ошибки: путают, какая сторона стала высотой, а какая радиусом; при вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы забывают, что получаются два конуса с общим основанием; смешивают формулы объёма цилиндра и конуса.

Кратко о главном

• Тело вращения образуется при вращении плоской фигуры вокруг оси.
• Прямоугольник даёт цилиндр, прямоугольный треугольник — конус, полукруг — шар.
• Объёмы: V_цил = πR²h, V_кон = (1/3)πR²h, V_шар = (4/3)πR³.