Площадь сферического пояса и сегмента

Площадь поверхности частей шара

Поверхность шара называется сферой. Сферу, как и сам шар, можно делить плоскостями на части, у каждой из которых есть своя площадь. Сферическим сегментом называется часть сферы, отсекаемая от неё плоскостью. Сферическим поясом, или сферической зоной, называется часть сферы, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями. Эти понятия важно отличать от шарового сегмента и слоя, которые относятся к самому телу, а не к поверхности. Сферический сегмент — это часть кривой поверхности, тогда как шаровой сегмент — это объёмное тело, ограниченное этой поверхностью и плоским кругом основания.

Основные формулы

У сферы есть удивительное свойство, открытое ещё Архимедом: площадь сферического пояса зависит только от высоты h между секущими плоскостями и от радиуса шара R, но совершенно не зависит от того, на какой именно высоте проведены эти плоскости. Два пояса одинаковой высоты на одной сфере имеют равные площади, даже если один из них находится около экватора, а другой — у полюса.

Правило: площадь сферического пояса равна S = 2π·R·h, где h — расстояние между параллельными плоскостями. Площадь сферического сегмента находится по той же формуле S = 2π·R·h, где h — высота сегмента. Радиус берётся именно от шара.

Разобранный пример

Найдём площадь сферического пояса высотой h = 3 см на шаре радиуса R = 10 см. Подставим значения в формулу.

Шар радиуса R = 10 см.
Сферический пояс высотой h = 3 см.
S = 2π·R·h = 2π·10·3 = 60π ≈ 188 см²

Проверим формулу на предельном случае. Если высота равна диаметру, то есть h = 2R = 20, то пояс охватывает всю сферу:

S = 2π·R·h = 2π·10·20 = 400π
Площадь всей сферы: 4π·R² = 4π·100 = 400π

Значения совпали, что подтверждает правильность формулы: при h = 2R пояс превращается во всю сферу. Это же свойство объясняет красивый факт: если цилиндр описан около шара (то есть имеет тот же радиус и высоту, равную диаметру), то площадь боковой поверхности цилиндра в точности равна площади сферы. Именно этим соотношением гордился Архимед, считавший его одним из главных своих открытий.

Частые ошибки: подставляют в формулу радиус основания сегмента вместо радиуса шара; пытаются вычислить площадь пояса как разность площадей кругов, тогда как нужно использовать 2πRh; путают площадь поверхности с объёмом части шара.

Кратко о главном

• Сферический сегмент — часть сферы, отсечённая одной плоскостью.
• Сферический пояс — часть сферы между двумя параллельными плоскостями.
• Площадь обеих частей равна S = 2π·R·h, а площадь всей сферы — 4π·R².