Конус и усечённый конус

Что такое конус

Прямой круговой конус — тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Круг — это основание конуса, точка на оси, в которой сходятся все образующие, — вершина. Отрезок от вершины до точки окружности основания называется образующей и обозначается l; все образующие прямого конуса равны между собой. Высота h — перпендикуляр из вершины к центру основания, радиус основания — R. Эти три величины связаны теоремой Пифагора.

Связь элементов конуса: l² = R² + h².

Сечения и развёртка

Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с основанием 2R и боковыми сторонами, равными образующей l. Сечение плоскостью, параллельной основанию, — круг меньшего радиуса. Развёртка боковой поверхности — круговой сектор радиуса l, длина дуги которого равна длине окружности основания 2πR.

Площадь поверхности и объём

Боковая поверхность: S_бок = πR·l. Полная: S_полн = πR·l + πR². Объём: V = (1/3)·πR²·h.

Обратите внимание: объём конуса, как и пирамиды, содержит множитель одна треть, ведь конус можно считать предельным случаем пирамиды с бесконечным числом боковых граней.

Усечённый конус

Усечённый конус получается, если конус пересечь плоскостью, параллельной основанию, и отбросить верхнюю часть. У него два круга-основания с радиусами R и r и образующая l, соединяющая окружности оснований.

Разобранный пример

Радиус R = 3, высота h = 4. Сначала найдём образующую по теореме Пифагора:

l = √(R² + h²) = √(9 + 16) = √25 = 5

S_бок = πR·l = π·3·5 = 15π

V = (1/3)·π·9·4 = 12π

Полная поверхность: S_полн = 15π + π·9 = 24π.

Угол развёртки и угол при вершине

Развёртка боковой поверхности конуса — сектор радиуса l; его центральный угол находится из условия, что длина дуги сектора равна длине окружности основания. Поэтому угол сектора в градусах равен 360° · R / l. Эта связь помогает в задачах, где конус задают именно через развёртку. Отдельно различают угол при вершине осевого сечения — это угол равнобедренного треугольника между двумя образующими; его половина связана с радиусом и высотой через тангенс: tg(α/2) = R / h.

В задачах с усечённым конусом удобно достраивать его до полного конуса: продолжив боковую поверхность до вершины, получают два подобных конуса, и отношение их радиусов равно отношению расстояний от вершины. Это подобие позволяет находить недостающие радиус, высоту или образующую.

Частые ошибки. Подставляют в боковую поверхность высоту вместо образующей; забывают множитель 1/3 в объёме; в осевом сечении считают сторону треугольника равной радиусу, а не диаметру; путают радиус развёртки (это образующая) с радиусом основания.

Кратко о главном

• Конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг катета.
• Образующая: l² = R² + h².
• Боковая поверхность: πR·l, объём: (1/3)πR²·h.
• Осевое сечение — равнобедренный треугольник с основанием 2R и боковыми сторонами l.