Комбинация конуса и сферы

Комбинация конуса и сферы

Сфера вписана в конус, если она касается боковой поверхности и плоскости основания. Сфера описана около конуса, если проходит через вершину и окружность основания. Все вычисления удобно вести в осевом сечении конуса — равнобедренном треугольнике, потому что и конус, и сфера обладают общей осью симметрии.

Осевое сечение как ключ к задаче

Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с основанием 2R и высотой h. Вписанная в конус сфера в этом сечении превращается во вписанную в треугольник окружность, а описанная — в описанную окружность. Так трёхмерная задача сводится к плоской планиметрической, которую решают известными формулами для окружностей и треугольников.

Идея. Радиус вписанной сферы конуса равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение; радиус описанной сферы равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения. Это работает именно благодаря осевой симметрии конуса.

Формулы радиусов

Обозначим образующую l = корень(R^2 + h^2). Для вписанной сферы используем формулу радиуса вписанной окружности через площадь и полупериметр треугольника: площадь сечения равна R*h, а полупериметр равен R + l. Для описанной сферы применяем формулу радиуса описанной окружности через стороны и площадь треугольника.

Разбор примера

Конус имеет R = 6 и h = 8. Тогда образующая l = корень(36 + 64) = корень(100) = 10.

Радиус вписанной сферы: r = 6*8 / (6 + 10) = 48 / 16 = 3.

Радиус описанной сферы: R_сф = 10^2 / (2*8) = 100 / 16 = 6,25.

Сравним объёмы: V_кон = (1/3)*пи*R^2*h = (1/3)*пи*36*8 = 96пи, а объём вписанной сферы V_сф = (4/3)*пи*3^3 = 36пи. Отношение составляет 36 : 96 = 3 : 8, то есть вписанная сфера занимает меньше половины конуса.

Центры вписанной и описанной сфер

Важно понимать, что центры вписанной и описанной сфер конуса лежат на его оси, но в разных точках. Центр вписанной сферы находится на высоте r над основанием, ведь сфера касается основания снизу. Центр описанной сферы лежит там, где он равноудалён от вершины и от точек окружности основания; в нашем примере это расстояние R_сф = 6,25 от вершины. Для остроугольного осевого сечения центр описанной сферы оказывается внутри конуса, а для тупоугольного — вне его, ниже основания. Поэтому, прежде чем считать, полезно прикинуть форму осевого сечения.

Частые ошибки. Считают радиус вписанной сферы равным половине высоты. Забывают вычислить образующую. Путают вписанную и описанную окружности осевого сечения. Считают, что центры обеих сфер совпадают, хотя они лежат на оси в разных точках.

Кратко о главном

• Задачи о конусе и сфере решают через осевое сечение.
• Образующая: l = корень(R^2 + h^2).
• Вписанная сфера: r = R*h / (R + l).
• Описанная сфера: R_сф = l^2 / (2h).
• Сечение переводит объёмную задачу в плоскую.