Параллельное проектирование

Параллельное проектирование

Параллельное проектирование — это способ изображения пространственных фигур на плоскости, при котором точки фигуры переносятся вдоль параллельных прямых на выбранную плоскость проекции. Направление проектирования задаётся прямой (или вектором), которая не параллельна плоскости проекции. Именно параллельное проектирование лежит в основе всех чертежей пространственных тел, которые мы рисуем на бумаге.

Чтобы построить проекцию точки A, через эту точку проводят прямую заданного направления и находят точку её пересечения с плоскостью проекции. Эта точка пересечения A_1 и называется проекцией точки A. Проектируя все точки фигуры, получают её изображение на плоскости. Понимание свойств проекции помогает правильно изображать кубы, призмы, цилиндры и другие тела.

Свойства параллельного проектирования

Правило: при параллельном проектировании прямая переходит в прямую (или в точку, если она параллельна направлению проектирования), параллельные прямые переходят в параллельные, а отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, сохраняется.

Применение к изображениям фигур

Свойства проекции напрямую определяют правила построения чертежей. Например, невидимые грани куба показывают параллелограммами, а не квадратами, потому что углы при проектировании не сохраняются. Окружность, лежащую в основании цилиндра, изображают эллипсом, так как окружность в общем положении проектируется именно в эллипс. При этом параллельные рёбра тела всегда остаются параллельными и на чертеже — это важнейшее требование к правильному изображению.

Разобранный пример

Покажем, как сохраняется отношение длин. Пусть отрезок AB содержит точку M, которая делит его в отношении AM:MB = 2:3. Спроектируем отрезок на плоскость.

Отрезок AB с точкой M, делящей его как AM:MB = 2:3.
После проектирования получаем A_1B_1 с точкой M_1.
Отношение сохраняется: A_1M_1 : M_1B_1 = 2:3.
Хотя сами длины A_1M_1 и M_1B_1 могут измениться
по сравнению с исходными.

Этим свойством удобно пользоваться, когда на чертеже нужно отметить середину отрезка или точку, делящую отрезок в заданном отношении: отношение переносится на изображение без искажений. В частности, середина отрезка проектируется в середину его проекции, а медиана треугольника — в медиану проекции. Поэтому, строя изображение пирамиды или призмы, можно смело отмечать на нём центры граней и точки пересечения медиан, опираясь на исходные отношения.

Частые ошибки: считают, что проекция сохраняет длины и углы; изображают основание цилиндра окружностью вместо эллипса; нарушают параллельность рёбер на чертеже.

Кратко о главном

• Параллельное проектирование переносит точки вдоль параллельных прямых на плоскость проекции.
• Сохраняются прямолинейность, параллельность прямых и отношение длин на одной прямой.
• Длины, углы и перпендикулярность в общем случае не сохраняются.