Касательная плоскость к сфере

Что такое касательная плоскость к сфере

Касательной плоскостью к сфере называют плоскость, которая имеет со сферой ровно одну общую точку. Эту точку называют точкой касания. Понятие касательной плоскости в пространстве является прямым обобщением касательной прямой к окружности на плоскости: и там, и здесь касание означает единственную общую точку и перпендикулярность радиуса в точке касания.

По взаимному расположению плоскости и сферы возможны три случая: плоскость не пересекает сферу, пересекает её по окружности или касается в единственной точке. Решающую роль играет сравнение радиуса сферы R и расстояния d от центра сферы до плоскости. Расстояние от центра до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на плоскость.

Признак и свойство касательной плоскости

Признак касательной плоскости. Если плоскость проходит через точку сферы и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то она касательная. Доказательство опирается на то, что любая другая точка такой плоскости удалена от центра больше чем на радиус, ведь она лежит на гипотенузе прямоугольного треугольника с катетом, равным радиусу.

Свойство касательной плоскости. Касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Это значит, что радиус в точке касания служит общим перпендикуляром к плоскости, а сама точка касания является ближайшей к центру точкой плоскости.

Правило. Чтобы доказать касание, достаточно показать равенство d = R либо перпендикулярность радиуса плоскости в общей точке. Оба условия равносильны.

Когда плоскость пересекает сферу

Если d < R, в сечении получается окружность. Её центр — основание перпендикуляра из центра сферы на плоскость, а радиус находят из прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза равна R, один катет равен d, а второй катет — искомый радиус сечения. Наибольшая окружность сечения получается при d = 0: это большой круг радиуса R, проходящий через центр.

Разбор примера

Сфера имеет центр O и радиус R = 13. Плоскость удалена от центра на d = 12. Выясним расположение и найдём радиус окружности сечения.

d = 12 < R = 13 — значит, плоскость пересекает сферу по окружности. Радиус сечения находим из прямоугольного треугольника:

r = корень(R^2 - d^2) = корень(169 - 144) = корень(25) = 5

Если бы расстояние равнялось 13, плоскость касалась бы сферы, а сечение выродилось бы в точку. Если бы расстояние стало больше 13, общих точек не было бы вовсе. Так одно и то же выражение под корнем показывает все три случая: при d = R корень обращается в ноль, при d > R подкоренное выражение отрицательно и решений нет.

Частые ошибки. Путают расстояние до плоскости с расстоянием до прямой. Забывают, что точка касания лежит на радиусе, перпендикулярном плоскости. Берут диаметр вместо радиуса при сравнении с расстоянием. Считают радиус сечения равным радиусу сферы.

Кратко о главном

• Касательная плоскость имеет со сферой одну общую точку.
• Расположение определяет сравнение d и R.
• Касание равносильно равенству d = R.
• Радиус в точке касания перпендикулярен плоскости.
• Радиус сечения: r = корень(R^2 - d^2).
• Наибольшее сечение — большой круг при d = 0.