Цилиндр: площадь поверхности и объём

Что такое цилиндр

Прямой круговой цилиндр — тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Два равных круга — это основания, а отрезок, соединяющий их центры, — ось цилиндра. Расстояние между плоскостями оснований называется высотой и обозначается h, а отрезок на боковой поверхности, параллельный оси и соединяющий точки окружностей оснований, — образующей. У прямого цилиндра образующая равна высоте, а радиусы оснований равны R.

Цилиндр относится к телам вращения наряду с конусом и шаром. Его боковая поверхность образована движением образующей по окружности основания.

Сечения цилиндра

Осевое сечение — это сечение плоскостью, проходящей через ось. Оно представляет собой прямоугольник со сторонами 2R (диаметр основания) и h (высота). Сечение плоскостью, параллельной основанию, даёт круг, равный основанию. Сечение, параллельное оси, но не проходящее через неё, — прямоугольник меньшей ширины.

Площадь поверхности и объём

Если разрезать боковую поверхность вдоль образующей и развернуть на плоскость, получится прямоугольник со сторонами 2πR (длина окружности основания) и h. Поэтому площадь боковой поверхности равна произведению этих сторон.

Боковая поверхность: S_бок = 2πR·h. Полная: S_полн = 2πR·h + 2πR². Объём: V = πR²·h.

Разобранный пример

Радиус основания R = 5, высота h = 4. Найдём объём и полную поверхность.

V = πR²·h = π · 25 · 4 = 100π

S_бок = 2π·5·4 = 40π

S_полн = 2π·5·(5 + 4) = 90π

Полезно проверять размерность: объём измеряется в кубических единицах, а площадь — в квадратных. Если в ответе для объёма не оказалось куба единицы длины, где-то потеряна высота или радиус.

Цилиндр в задачах с другими телами

Часто цилиндр встречается вместе с вписанными или описанными телами. Например, если в цилиндр вписан шар, то диаметр шара равен и диаметру основания, и высоте цилиндра, то есть h = 2R — такой цилиндр называют равносторонним, ведь его осевое сечение является квадратом. Если же около цилиндра описана призма, то радиус основания цилиндра равен радиусу вписанной в основание призмы окружности. Подобные связи позволяют свести объёмную задачу к простому планиметрическому соотношению между радиусом, высотой и диаметром.

Ещё одна частая ситуация — нахождение объёма по развёртке. Если известны стороны прямоугольника развёртки боковой поверхности, то одна из них равна высоте, а другая — длине окружности 2πR, откуда восстанавливается радиус, а затем и объём.

Частые ошибки. Используют диаметр вместо радиуса в формулах; забывают добавить два основания при вычислении полной поверхности; путают осевое сечение (прямоугольник) с сечением, параллельным основанию (круг); умножают длину окружности на радиус вместо высоты.

Кратко о главном

• Цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг стороны.
• Объём: V = πR²·h.
• Боковая поверхность: S_бок = 2πR·h, полная добавляет два круга основания.
• Осевое сечение прямого цилиндра — прямоугольник со сторонами 2R и h.