Логическая операция «И»

Что такое логическая операция «И»

Логическая операция «И» (её называют логическим умножением, или конъюнкцией) соединяет два высказывания в одно сложное. Сложное высказывание с союзом «И» истинно только тогда, когда истинны оба простых высказывания одновременно. Если хотя бы одно из них ложно, всё сложное высказывание тоже ложно.

Напомним: высказывание — это повествовательное предложение, о котором можно определённо сказать, истинно оно или ложно. Например, «Москва — столица России» — истинное высказывание, а «Два больше пяти» — ложное. Истину обозначают цифрой 1, а ложь — цифрой 0. Эти два значения называют логическими значениями высказывания.

Зачем нужна операция «И»

В жизни мы часто соединяем условия. Когда говорят: «На улицу выйдем, если будет тепло и сухо», подразумевают, что нужны сразу оба условия. Логическая операция «И» как раз позволяет записать такое требование строго. Из простых высказываний с её помощью строят более сложные, которыми удобно описывать правила и проверки в алгоритмах.

Пример из жизни

Рассмотрим высказывание: «Сегодня тепло И светит солнце». Оно верно лишь тогда, когда правда и то, что тепло, и то, что солнце светит. Стоит исчезнуть одному условию — например, набежали тучи — и всё утверждение становится ложным, хотя на улице по-прежнему тепло.

Правило: операция «И» истинна только при истинности всех входящих в неё частей. Достаточно одного ложного условия, чтобы результат стал ложным.

Таблица истинности операции «И»

Чтобы описать операцию полностью, перебирают все возможные сочетания значений. Обозначим первое высказывание буквой A, второе — B. Результат операции «И» записывают как A И B. У двух высказываний всего четыре сочетания значений, поэтому в таблице ровно четыре строки.

Видно, что единица в столбце результата стоит лишь в одной строке — там, где оба значения равны единице. Во всех остальных случаях результат равен нулю.

Разбор примера

Пусть A — «число делится на 2», B — «число делится на 3». Тогда A И B — «число делится и на 2, и на 3», то есть делится на 6. Проверим на конкретных числах.

Число 12: A=1, B=1, значит A И B = 1 (делится на 6)

Число 9: A=0, B=1, значит A И B = 0 (на 6 не делится)

Число 8: A=1, B=0, значит A И B = 0 (на 6 не делится)

Только когда обе части истинны, истинно и сложное высказывание. Этот же принцип используется в компьютерах: команды нередко выполняются лишь при одновременном соблюдении нескольких условий.

Частые ошибки

• Путают «И» с «ИЛИ»: при «И» нужны все условия сразу, а не хотя бы одно.
• Считают сложное высказывание истинным, если верно хотя бы одно условие, — это неверно для «И».
• Забывают перебрать все четыре строки таблицы истинности и теряют один из случаев.

Кратко о главном

• Операция «И» (конъюнкция) соединяет высказывания и означает «и то, и другое».
• Результат истинен только тогда, когда истинны оба высказывания.
• В таблице истинности единица в результате стоит лишь при A=1 и B=1.
• Одно ложное условие делает всю конъюнкцию ложной.