Формулы двойного угла

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла выражают тригонометрические функции угла 2α через функции угла α. Они получаются из формул сложения, если в них взять оба слагаемых одинаковыми, то есть положить β = α. Эти формулы постоянно встречаются при упрощении выражений, понижении степени и решении уравнений.

Основные формулы

Для синуса, косинуса и тангенса двойного угла справедливо:

• sin 2α = 2 sin α cos α
• cos 2α = cos²α − sin²α
• tg 2α = 2 tg α / (1 − tg²α)

Формула для тангенса работает при условии, что определены и tg α, и tg 2α, то есть знаменатели не обращаются в нуль.

Три формы косинуса

Формулу косинуса двойного угла можно записать в трёх равносильных видах, используя основное тождество sin²α + cos²α = 1. Выбор формы зависит от того, какая функция известна в задаче.

Как выводятся формулы

Берём формулу синуса суммы и подставляем β = α:

Аналогично из формулы косинуса суммы получается cos 2α = cos α cos α − sin α sin α = cos²α − sin²α. Таким образом, формулы двойного угла не нужно зубрить отдельно — они вытекают из формул сложения.

Разобранный пример

Пусть cos α = 0,6. Найдём cos 2α, не вычисляя самого угла.

Здесь была выбрана форма через косинус, потому что именно косинус задан в условии. Если бы был известен синус, удобнее была бы третья форма.

Обратное применение

Формулы читаются и в обратную сторону. Например, выражение 2 sin x cos x можно свернуть в sin 2x, а cos²x − sin²x — в cos 2x. Это часто упрощает громоздкие выражения до одного слагаемого. Перечислим типичные направления применения:

• понижение степени: квадрат функции заменяют выражением с косинусом двойного угла;
• свёртывание произведения sin α cos α в половину синуса двойного угла;
• замена переменной в уравнениях, чтобы перейти от угла α к углу 2α или наоборот.

Связь с понижением степени

Из формулы cos 2α = 1 − 2 sin²α сразу следует sin²α = (1 − cos 2α)/2, а из cos 2α = 2 cos²α − 1 получается cos²α = (1 + cos 2α)/2. Эти равенства называют формулами понижения степени, и они напрямую вырастают из формул двойного угла. Поэтому, освоив двойной угол, школьник почти автоматически получает и инструмент понижения степени.

Частые ошибки. Нельзя писать sin 2α = 2 sin α — это грубая ошибка, множитель cos α обязателен. Также внимательно выбирайте удобную форму cos 2α под условие задачи и не путайте 2α с α².

Кратко о главном

• sin 2α = 2 sin α cos α.
• cos 2α имеет три равносильные записи.
• Формулы выводятся из формул сложения при β = α.
• Их применяют как «вперёд», так и «назад» — для свёртывания выражений.
• Множитель cos α в формуле синуса нельзя терять.