Производная функции: определение и смысл

Что такое производная

Производной функции f(x) в точке x_0 называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначают производную f'(x_0) или y'.

Если придать аргументу приращение dx, функция получит приращение df = f(x_0 + dx) - f(x_0). Тогда по определению f'(x_0) = lim (df / dx) при dx -> 0. Процесс нахождения производной называют дифференцированием. Отношение df / dx до перехода к пределу называют разностным отношением — оно показывает среднюю скорость изменения функции на участке.

Геометрический смысл

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке: f'(x_0) = tg a, где a — угол наклона касательной к оси абсцисс. Поэтому уравнение касательной имеет вид y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0). Чем больше по модулю производная, тем круче поднимается или опускается график; если производная равна нулю, касательная горизонтальна.

Наглядно касательную можно представить как предельное положение секущей: проводим прямую через точку x_0 и близкую точку, а затем приближаем вторую точку к первой. Угол наклона секущей стремится к углу наклона касательной — именно поэтому производная связана с касательной.

Физический смысл

Если функция описывает путь в зависимости от времени, то её производная — это мгновенная скорость. В общем случае производная показывает мгновенную скорость изменения величины. Именно из задач механики, поставленных Ньютоном, и выросло само понятие производной. Производная скорости по времени, в свою очередь, даёт ускорение.

Вычисление по определению

Найдём производную функции f(x) = x^2 в произвольной точке.
df = (x + dx)^2 - x^2 = 2x*dx + (dx)^2;
df / dx = 2x + dx;
при dx -> 0 получаем f'(x) = 2x.

Когда производная существует

Функция называется дифференцируемой в точке, если в ней существует конечная производная. Дифференцируемая функция обязательно непрерывна, но обратное неверно: есть непрерывные функции без производной в отдельных точках, например |x| в нуле.

Частые ошибки. Производная — это число (в точке) или новая функция, но не приращение. Нельзя забывать про предел: само отношение df / dx ещё не производная. Знак производной говорит о направлении изменения функции, а не о её значении.

Кратко о главном

• Производная — предел отношения приращения функции к приращению аргумента.
• Геометрически это угловой коэффициент касательной к графику.
• Физически это мгновенная скорость изменения величины.
• Уравнение касательной: y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0).