Показательные и логарифмические неравенства
📐 Алгебра · 10 класс
Показательные и логарифмические неравенства
Показательное неравенство содержит переменную в показателе степени, а логарифмическое — под знаком логарифма. Решают их, опираясь на монотонность соответствующих функций, поэтому ключевую роль играет величина основания. Именно от того, больше основание единицы или меньше, зависит главный шаг решения.
Роль основания
Показательная и логарифмическая функции возрастают при основании больше единицы и убывают при основании от нуля до единицы. Если функция возрастает, то большему значению функции соответствует больший аргумент, и знак неравенства между аргументами сохраняется. Если функция убывает, то большему значению функции отвечает меньший аргумент, и при сравнении аргументов знак неравенства меняется на противоположный.
| Основание | Поведение функции | Знак неравенства |
|---|---|---|
a > 1 | возрастает | сохраняется |
0 < a < 1 | убывает | меняется на противоположный |
Схема решения
- Для показательного неравенства приводят обе части к одному основанию, после чего переходят к сравнению показателей по правилу из таблицы.
- Для логарифмического сначала находят область допустимых значений: все выражения, стоящие под знаком логарифма, должны быть строго положительны.
- Затем переходят от логарифмов к их аргументам, учитывая основание и правильно выбирая знак.
- Окончательный ответ берут как пересечение области допустимых значений и решения, полученного из сравнения аргументов.
Разобранный пример: показательное
Решим 2ᵅ > 8. Запишем 8 как 2³. Основание 2 > 1, функция возрастает, знак сохраняется: x > 3.
Разобранный пример: логарифмическое
Решим log₀,₅(x - 1) > 1. Основание 0,5 меньше единицы. Сначала область: x - 1 > 0, то есть x > 1. Представим единицу как log₀,₅ 0,5. Так как функция убывает, знак меняется:
x - 1 < 0,5, то есть x < 1,5.
Пересекая с областью x > 1, получаем ответ 1 < x < 1,5.
Замена переменной
Многие показательные и логарифмические неравенства после введения новой переменной сводятся к привычным алгебраическим. Например, в неравенстве 4ᵅ - 3 · 2ᵅ - 4 > 0 удобно обозначить t = 2ᵅ. Поскольку 4ᵅ = (2ᵅ)² = t², получаем квадратное неравенство t² - 3t - 4 > 0. Его решение — t < -1 или t > 4. Но t = 2ᵅ всегда положительно, поэтому остаётся только t > 4, то есть 2ᵅ > 4, откуда x > 2. Этот приём очень распространён, и важно помнить про ограничение t > 0 при возврате к исходной переменной.
Частые ошибки. Самая грубая — забыть про область допустимых значений в логарифмических неравенствах: без неё в ответ попадают посторонние числа. При основании меньше единицы обязательно меняйте знак неравенства. Нельзя «сокращать» логарифмы или показатели без учёта величины основания.
Кратко о главном
- При основании больше единицы знак неравенства сохраняется, меньше единицы — меняется.
- Показательные неравенства решают, приведя обе части к общему основанию.
- Для логарифмических сначала находят область допустимых значений.
- Ответ — пересечение области и решения по аргументам.