Корень n-й степени и степень с рациональным показателем

Корень степени n

Арифметическим корнем степени n из неотрицательного числа a называют такое неотрицательное число, степень n которого равна a. Обозначают его как корень степени n из a. Здесь n — натуральное число, большее единицы, называемое показателем корня, а a — подкоренное выражение. При n = 2 получают привычный квадратный корень, при n = 3 — кубический.

Например, корень третьей степени из числа 8 равен 2, поскольку 2^3 = 8. Корень четвёртой степени из 81 равен 3, так как 3^4 = 81. Если показатель корня чётный, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: извлечь корень чётной степени из отрицательного числа в действительных числах нельзя. При нечётном показателе корень определён для любого числа, в том числе отрицательного.

Свойства корня

Для неотрицательных a и b справедливы свойства, которые полностью повторяют свойства степеней.

• Корень из произведения равен произведению корней.
• Корень из частного равен частному корней.
• При возведении корня в степень показатели перемножаются.
• Корень из корня даёт корень с произведением показателей.

Эти свойства позволяют упрощать громоздкие выражения и выносить множители из-под знака корня. Например, корень из 72 равен произведению корня из 36 и корня из 2, то есть 6 умножить на корень из 2.

Степень с рациональным показателем

Корень степени n позволяет ввести степень с дробным показателем. По определению для a >= 0 справедливо a^(m/n) — это корень степени n из a^m. Так понятие степени распространяется с целых показателей на рациональные, и при этом сохраняются все привычные правила действий со степенями: при умножении показатели складываются, при возведении в степень перемножаются.

Благодаря этому любое выражение с корнями можно записать через степени и наоборот. Такой переход особенно удобен при решении уравнений и при работе с производной в дальнейшем.

Разобранный пример

Вычислим 16^(3/4).
16^(3/4) = (16^(1/4))^3;
16^(1/4) = 2 (так как 2^4 = 16);
2^3 = 8.
Значит 16^(3/4) = 8.
Удобно сначала извлекать корень, а потом возводить в степень — числа получаются меньше.

Частые ошибки. При чётном показателе нельзя извлекать корень из отрицательного числа. Степень с рациональным показателем определяют для неотрицательного основания. Нельзя путать a^(1/n) и 1/a^n — это совершенно разные выражения.

Кратко о главном

• Арифметический корень степени n — неотрицательное число, дающее в степени n подкоренное выражение.
• Корни обладают свойствами произведения, частного и возведения в степень.
• Степень с рациональным показателем выражается через корень: a^(m/n).
• При чётном показателе подкоренное выражение должно быть неотрицательным.