Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Преобразование суммы в произведение

Иногда сумму или разность тригонометрических функций удобно записать в виде произведения — например, чтобы разложить выражение на множители и свести уравнение к простым. Для этого служат специальные формулы суммы и разности синусов и косинусов. Они дополняют формулы произведения и широко применяются в преобразованиях.

Основные формулы

Для любых углов x и y верны равенства:

• sin x + sin y = 2 sin((x+y)/2) cos((x-y)/2)
• sin x - sin y = 2 cos((x+y)/2) sin((x-y)/2)
• cos x + cos y = 2 cos((x+y)/2) cos((x-y)/2)
• cos x - cos y = -2 sin((x+y)/2) sin((x-y)/2)

Во всех формулах появляются полусумма (x+y)/2 и полуразность (x-y)/2 исходных аргументов. Обратите внимание на знак «минус» в последней формуле — его легко потерять. Заметьте также, что в формуле для суммы синусов снаружи стоит синус, а в формуле для суммы косинусов — косинус; это помогает не перепутать структуры.

Зачем это нужно

Главное применение — решение уравнений. Если правая часть уравнения равна нулю, а левую удалось записать как произведение, то задача распадается: произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один множитель обращается в ноль. Так одно сложное уравнение превращается в несколько простейших. Кроме того, формулы помогают доказывать тождества, упрощать длинные выражения и вычислять значения сумм без калькулятора.

Разобранный пример

Решим уравнение sin 3x + sin x = 0. По формуле суммы синусов берём полусумму (3x + x)/2 = 2x и полуразность (3x - x)/2 = x:

2 sin(2x) cos(x) = 0

Произведение равно нулю, когда sin 2x = 0 или cos x = 0. Из первого условия 2x = πn, то есть x = πn/2. Из второго x = π/2 + πk. Второе семейство решений целиком содержится в первом, поэтому окончательный ответ: x = πn/2, где n — целое число.

Ещё пример — вычисление суммы: cos 75° + cos 15° = 2 cos 45° cos 30° = 2 · (√2/2) · (√3/2) = √6/2.

Частые ошибки. Не забывайте делить аргументы пополам и не теряйте знак «минус» в формуле для разности косинусов. После разложения на множители проверяйте, не входит ли одно семейство решений в другое, чтобы не записать ответ дважды.

Кратко о главном

• Сумму и разность синусов и косинусов можно записать как произведение.
• В формулах появляются полусумма и полуразность аргументов.
• Разложение на множители превращает уравнение в набор простых.
• В формуле для cos x - cos y обязательно есть знак «минус».