Уравнение касательной к графику функции

Уравнение касательной к графику функции

Касательная к графику функции в данной точке — это прямая, которая в окрестности этой точки «прижимается» к кривой плотнее любой другой прямой. Производная и касательная связаны напрямую: именно через касательную раскрывается геометрический смысл производной, изучаемый в 10 классе.

Геометрический смысл производной

Значение производной f'(x₀) в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику в точке с абсциссой x₀. То есть производная показывает тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс. Если производная положительна, касательная поднимается слева направо и функция в этой точке растёт; если отрицательна — касательная опускается и функция убывает; если равна нулю — касательная горизонтальна, и это часто признак точки экстремума.

Формула уравнения касательной

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x₀ имеет вид:

y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)

Эта формула получается так: касательная проходит через точку касания (x₀; f(x₀)) и имеет угловой коэффициент f'(x₀); подставив их в уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, получаем приведённое выражение.

Порядок действий и пример

1. Находим значение функции f(x₀) в заданной точке.
2. Находим производную f'(x) и вычисляем её значение f'(x₀).
3. Подставляем найденные числа в формулу касательной и упрощаем.

Составим касательную к графику функции f(x) = x² в точке x₀ = 1. Тогда f(1) = 1, производная f'(x) = 2x, значит f'(1) = 2. Подставляем в формулу:

y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1

Получили уравнение касательной y = 2x - 1. Можно проверить: при x = 1 прямая даёт y = 1, то есть проходит через точку касания.

Угол наклона и параллельные касательные

Поскольку f'(x₀) равен тангенсу угла наклона, по знаку и величине производной можно судить о форме графика. Если в некоторой задаче требуется найти точку, где касательная параллельна заданной прямой y = kx + b, достаточно решить уравнение f'(x) = k: у параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Например, для f(x) = x² касательная параллельна прямой y = 4x там, где 2x = 4, то есть в точке x = 2. А там, где производная равна нулю, касательная горизонтальна и параллельна оси абсцисс; такие точки часто оказываются вершинами графика.

Частые ошибки. Угловой коэффициент — это значение производной именно в точке x₀, а не сама функция производной. Не путайте f(x₀) (значение функции) и f'(x₀) (значение производной) — это разные числа. Обязательно проверяйте, что взятая точка действительно лежит на графике функции.

Кратко о главном

• Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной.
• Уравнение касательной: y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀).
• Для составления нужны два числа: f(x₀) и f'(x₀).
• Знак производной показывает наклон касательной и поведение функции.