Производная сложной функции
📐 Алгебра · 10 класс
Производная сложной функции
Сложная функция — это функция от функции. Например, в выражении y = sin(x²) внешней функцией является синус, а внутренней — x². Чтобы продифференцировать такую функцию, недостаточно знать производные элементарных функций: нужно применять специальное правило, которое называют цепным.
Цепное правило
Если y = f(g(x)), то производная вычисляется так: берут производную внешней функции по её аргументу и умножают на производную внутренней функции.
y' = f'(g(x)) · g'(x).Образно говоря, мы дифференцируем «снаружи внутрь»: сначала внешнюю функцию, считая внутреннюю единым аргументом, а затем обязательно домножаем на производную того, что находится внутри. Если сложных вложений несколько, правило применяют последовательно, перемножая производные всех слоёв.
Таблица типичных случаев
| Функция | Производная |
|---|---|
(g(x))^n | n·(g(x))^(n−1)·g'(x) |
sin(g(x)) | cos(g(x))·g'(x) |
cos(g(x)) | −sin(g(x))·g'(x) |
e^(g(x)) | e^(g(x))·g'(x) |
ln(g(x)) | g'(x)/g(x) |
Как распознать внешнюю и внутреннюю функцию
Чтобы не запутаться, мысленно представьте порядок действий при вычислении значения функции в конкретной точке. То действие, которое выполняется последним, и есть внешняя функция — её дифференцируют первой. Например, в (2x + 3)^5 последним выполняется возведение в пятую степень, значит степень — внешняя функция, а 2x + 3 — внутренняя.
Разобранные примеры
Найдём производную функции y = (2x + 3)^5.
внешняя функция — степень, внутренняя — 2x + 3. y' = 5·(2x + 3)^4 · (2x + 3)' = 5·(2x + 3)^4 · 2 = 10·(2x + 3)^4.Теперь продифференцируем y = sin(3x).
y' = cos(3x) · (3x)' = cos(3x) · 3 = 3 cos(3x).Частые ошибки. Самая распространённая ошибка — забыть умножить на производную внутренней функции. Без множителяg'(x)ответ будет неверным. Например, нельзя писать, что производнаяsin(3x)равнаcos(3x)— обязателен множитель3. Также важно правильно определить, что является внешней, а что внутренней функцией, иначе всё дальнейшее вычисление окажется ошибочным.
Зачем это нужно
Большинство функций, встречающихся в задачах, являются сложными. Без цепного правила невозможно найти производные таких выражений, а значит, нельзя исследовать функции, строить касательные и решать прикладные задачи на экстремумы. Поэтому цепное правило — один из самых востребованных инструментов дифференцирования.
Несколько вложений
Иногда функция содержит сразу несколько вложенных слоёв, например y = sin²(3x), что означает (sin(3x))². В таких случаях цепное правило применяют последовательно, продвигаясь от самого внешнего действия к самому внутреннему и перемножая все производные.
y = (sin 3x)²; y' = 2·sin 3x · (sin 3x)' = 2·sin 3x · cos 3x · 3 = 6 sin 3x cos 3x.Здесь мы прошли три слоя: возведение в квадрат, синус и линейную функцию 3x, и на каждом шаге домножали на производную внутреннего выражения. Полученный ответ при желании можно свернуть по формуле двойного угла до 3 sin 6x.
Кратко о главном
- Сложная функция — это функция от функции,
y = f(g(x)). - Цепное правило:
y' = f'(g(x)) · g'(x). - Дифференцируем снаружи внутрь, умножая на производную внутренней части.
- Внешняя функция — то действие, что выполняется последним.
- Главное — не потерять множитель
g'(x).