Чётность и периодичность функций

Чётность и периодичность функций

Чётность и периодичность — это свойства функций, которые помогают понять поведение их графиков и заметно упрощают вычисления. Эти свойства особенно важны при изучении тригонометрических функций, но встречаются и у многих других функций школьного курса.

Чётные и нечётные функции

Функция называется чётной, если для всех x из области определения выполняется равенство f(−x) = f(x). График такой функции симметричен относительно оси ординат: левая половина является зеркальным отражением правой. Функция называется нечётной, если f(−x) = −f(x); её график симметричен относительно начала координат, то есть при повороте на 180° вокруг точки O переходит сам в себя.

Существуют функции, которые не являются ни чётными, ни нечётными. Например, y = x + 1 не обладает ни одним из этих видов симметрии.

Периодичность

Функция называется периодической с периодом T, если T ≠ 0 и для всех x из области определения выполняется f(x + T) = f(x). Наименьший положительный период называют основным периодом. Для периодической функции достаточно изучить её на одном периоде, а дальше график просто повторяется.

Перечислим основные периоды тригонометрических функций:

• у синуса и косинуса основной период равен 2π;
• у тангенса и котангенса основной период равен π;
• у функции y = sin(kx) период равен 2π/|k|.

Разобранный пример

Проверим чётность функции f(x) = x² · cos x.

Здесь мы воспользовались тем, что x² и cos x по отдельности чётные, а произведение двух чётных функций тоже чётно.

Сумма и произведение функций

Свойства чётности и нечётности удобно проверять, зная правила для суммы и произведения. Сумма двух чётных функций чётна, сумма двух нечётных нечётна. Произведение двух чётных или двух нечётных функций чётно, а произведение чётной и нечётной — нечётно. Эти правила позволяют определять тип сложного выражения без прямой подстановки.

Частые ошибки. Обязательное условие чётности и нечётности — симметричность области определения относительно нуля. Если область не симметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной, даже если равенство формально выполняется. Также не считайте, что любая функция обязательно чётная или нечётная — большинство функций не обладают этими свойствами.

Зачем это нужно

Зная чётность, достаточно построить график на половине области определения и отразить его. Зная период, достаточно изучить функцию на одном периоде. Оба свойства экономят время и уменьшают число вычислений.

Кратко о главном

• Чётная функция: f(−x) = f(x), график симметричен относительно Oy.
• Нечётная функция: f(−x) = −f(x), симметрия относительно начала координат.
• Периодическая: f(x + T) = f(x); у синуса и косинуса период 2π, у тангенса — π.
• Область определения должна быть симметрична относительно нуля.
• Свойства позволяют изучать функцию лишь на части области.