Предел числовой последовательности

Понятие предела последовательности

Говорят, что число A является пределом последовательности (a_n), если с ростом номера члены последовательности неограниченно приближаются к A. Записывают это так: lim a_n = A при n -> бесконечности. Последовательность, у которой есть конечный предел, называют сходящейся; если предела нет — расходящейся.

Строгое определение: число A — предел, если для любого сколь угодно малого e > 0 найдётся номер, начиная с которого все члены отличаются от A меньше чем на e, то есть |a_n - A| < e. Геометрически это означает, что в любую сколь угодно узкую полосу вокруг прямой y = A попадают все члены последовательности, кроме конечного их числа.

Важно понимать, что члены последовательности не обязаны достигать значения A — достаточно неограниченно к нему приближаться. Так, последовательность 1/n никогда не равна нулю, но именно ноль является её пределом.

Простейшие пределы

Важнейший пример — последовательность a_n = 1/n. С ростом номера её члены становятся всё меньше и стремятся к нулю, поэтому lim (1/n) = 0. Эту последовательность часто называют эталонной: к ней сводятся многие другие вычисления пределов.

Теоремы о пределах

Если последовательности (a_n) и (b_n) сходятся, то справедливы правила.

• Предел суммы равен сумме пределов: lim (a_n + b_n) = lim a_n + lim b_n.
• Предел произведения равен произведению пределов.
• Предел частного равен частному пределов, если знаменатель не стремится к нулю.

Эти теоремы позволяют находить пределы сложных выражений, разбивая их на простые части. При вычислении предела дроби, у которой и числитель, и знаменатель неограниченно растут, обычно делят их на старшую степень номера, после чего пользуются эталонным пределом 1/n -> 0.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Если знаменатель геометрической прогрессии удовлетворяет условию |q| < 1, то сумма всех её членов конечна и вычисляется по формуле S = b_1 / (1 - q), где b_1 — первый член. Эта формула получается как предел последовательности частичных сумм: с ростом числа слагаемых их сумма приближается к конечному значению, поскольку добавляемые члены становятся всё меньше.

На таком пределе основан, например, перевод бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную: периодическую часть представляют как сумму бесконечной геометрической прогрессии.

Пример. Для прогрессии 1; 1/2; 1/4; 1/8; ... имеем b_1 = 1, q = 1/2.
S = 1 / (1 - 1/2) = 1 / (1/2) = 2.

Частые ошибки. Формула суммы бесконечной прогрессии работает только при |q| < 1. Не всякая последовательность имеет предел: например, a_n = (-1)^n предела не имеет, так как члены постоянно перескакивают между -1 и 1.

Кратко о главном

• Предел — это число, к которому неограниченно приближаются члены последовательности.
• Последовательность с конечным пределом называют сходящейся.
• Пределы суммы, произведения и частного вычисляют по соответствующим теоремам.
• Сумма бесконечной прогрессии при |q| < 1 равна b_1 / (1 - q).