Первообразная функции

Что такое первообразная

Первообразной функции f на промежутке называют такую функцию F, производная которой равна f, то есть выполняется равенство F'(x) = f(x). Нахождение первообразной — действие, обратное дифференцированию: если при дифференцировании мы по функции находим её скорость изменения, то при отыскании первообразной идём в обратную сторону. Эта тема служит фундаментом интегрального исчисления и подводит к понятию определённого интеграла и вычислению площадей.

Чтобы проверить, является ли функция первообразной, достаточно её продифференцировать. Если в результате получилась исходная функция f, то F — действительно первообразная. Эта простая проверка избавляет от многих ошибок.

Основное свойство

Если F — первообразная для f, то любая функция вида F(x) + C, где C — произвольная постоянная, тоже является первообразной той же функции. Это следует из того, что производная константы равна нулю. Значит, у функции бесконечно много первообразных, и все они отличаются друг от друга лишь на постоянное слагаемое. Совокупность всех первообразных называют неопределённым интегралом функции.

Если F'(x) = f(x), то (F(x) + C)' = f(x) для любого числа C.

Таблица первообразных

Таблицу первообразных получают «переворачиванием» таблицы производных. Её полезно держать перед глазами, пока навык не закрепится.

Разбор примера

Найдём общий вид первообразной для функции f(x) = 3x² + cos x. Первообразную суммы находят как сумму первообразных слагаемых, не забывая в конце добавить постоянную.

Для 3x² первообразная — x³, так как (x³)' = 3x².
Для cos x первообразная — sin x.
Ответ: F(x) = x³ + sin x + C.

Проверим результат: продифференцируем F(x) = x³ + sin x + C и получим 3x² + cos x — то есть исходную функцию. Значит, первообразная найдена верно.

Понятие первообразной готовит почву для главного результата всего раздела — формулы Ньютона-Лейбница, по которой определённый интеграл, а значит и площадь под графиком, выражается через значения первообразной на концах отрезка. Поэтому уверенное владение таблицей первообразных и правилом про постоянную C — обязательный навык для дальнейшего изучения интегралов.

Частые ошибки. Самая распространённая — забыть постоянную C. Часто пишут первообразную синуса как cos x без минуса, хотя правильно -cos x. Иногда применяют степенную формулу при n = -1, хотя в этом случае первообразной служит логарифм ln|x|, а не дробь.

Кратко о главном

• Первообразная F — функция, производная которой равна f.
• Нахождение первообразной обратно дифференцированию.
• Первообразных бесконечно много: они отличаются на постоянную C.
• Существует таблица первообразных для элементарных функций.
• Ответ всегда можно проверить дифференцированием.