Тригонометрические неравенства

Что такое тригонометрическое неравенство

Тригонометрическое неравенство — это неравенство, в котором неизвестная стоит под знаком тригонометрической функции, например sin x > 1/2 или cos x ≤ 0. Решить такое неравенство — значит найти все значения угла x, при которых оно обращается в верное числовое неравенство. Поскольку функции sin x и cos x периодичны, любое решение повторяется через период, и потому решений всегда бесконечно много. Из-за этого ответ записывают не одним числом, а целой серией с произвольным целым параметром n, который пробегает все целые числа.

Тригонометрические неравенства встречаются при отборе корней в более сложных задачах, при нахождении области определения функций и при исследовании промежутков, на которых выполняется то или иное условие. Поэтому уверенно решать простейшие неравенства важно для всей дальнейшей работы с тригонометрией.

Главный инструмент — числовая окружность

Удобнее всего решать неравенства на единичной окружности. Значение sin x — это ордината точки, отвечающей углу, а значение cos x — её абсцисса. Поэтому неравенство sin x > 1/2 читается геометрически так: выбрать все точки окружности, у которых ордината больше половины. Для этого проводят горизонтальную прямую на высоте 1/2, находят точки её пересечения с окружностью и выделяют дугу, лежащую выше прямой. Аналогично для косинуса проводят вертикальную прямую, ведь косинус — это абсцисса.

Порядок решения

Решение любого простейшего тригонометрического неравенства удобно вести по одной и той же схеме, не пропуская шагов.

1. Решить соответствующее уравнение, чтобы найти границы дуги.
2. Отметить найденные точки на числовой окружности.
3. Выделить ту дугу, на которой неравенство выполняется.
4. Записать промежуток в направлении против часовой стрелки.
5. Добавить период 2πn и записать окончательный ответ.

Разбор примера

Решим неравенство cos x ≤ 1/2. Сначала находим границы, затем выбираем нужную часть окружности и аккуратно записываем промежуток вместе с периодом.

Уравнение cos x = 1/2 даёт x = π/3 и x = -π/3.
Абсцисса не больше 1/2 на дуге от π/3 до 5π/3.
Ответ: π/3 + 2πn ≤ x ≤ 5π/3 + 2πn.

Частые ошибки. Нельзя записывать ответ через ±, как для уравнения, — нужен именно интервал. Для тангенса период равен π, а не 2π, поэтому в его ответе пишут πn. Важно следить за знаком: при ≥ и ≤ границы включаются, а при строгом знаке — нет. Ещё одна ошибка — двигаться по окружности в обратную сторону и получить «перевёрнутый» промежуток.

Кратко о главном

• Тригонометрическое неравенство содержит неизвестное под знаком функции.
• Решают его на числовой окружности, выделяя нужную дугу.
• Сначала находят границы (решают уравнение), затем выбирают промежуток.
• Ответ записывают сериями с периодом 2π, а для тангенса — π.
• Строгий знак даёт открытые границы, нестрогий — закрытые.