Правила дифференцирования

Как находят производные

Вычислять производную каждый раз по определению неудобно. Поэтому используют готовую таблицу производных и правила дифференцирования, которые позволяют находить производную почти любой функции из школьной программы.

Таблица производных

Эту таблицу важно знать наизусть — она лежит в основе всех дальнейших вычислений.

Из общей формулы для степенной функции легко получить частные случаи. Так, производная функции x равна единице, производная x^2 равна 2x, а производная квадратного корня из x равна 1/(2*корень из x).

Основные правила

Пусть u и v — дифференцируемые функции, c — постоянная.

• Постоянный множитель выносится: (c*u)' = c*u'.
• Производная суммы: (u + v)' = u' + v'.
• Производная произведения: (u*v)' = u'*v + u*v'.
• Производная частного: (u/v)' = (u'*v - u*v') / v^2.

Эти правила применяют по очереди, разбирая выражение на части. Сначала определяют, какая операция в выражении главная — сумма, произведение или частное, — и применяют соответствующее правило, а затем дифференцируют каждый множитель отдельно.

Производная сложной функции

Если функция составлена из вложенных функций, применяют цепное правило: производная внешней функции умножается на производную внутренней. Для y = f(g(x)) имеем y' = f'(g(x)) * g'(x). Внутреннюю функцию при этом удобно мысленно обозначить отдельной буквой, продифференцировать внешнюю функцию по ней, а затем домножить на производную внутренней.

Разобранный пример

Найдём производную функции y = (3x^2 - 1) * sin x.
Это произведение, применяем правило произведения:
y' = (3x^2 - 1)' * sin x + (3x^2 - 1) * (sin x)';
y' = 6x * sin x + (3x^2 - 1) * cos x.

Ещё один пример

Найдём производную дроби y = (x + 1) / (x - 1).
Применяем правило частного:
y' = ((x + 1)'(x - 1) - (x + 1)(x - 1)') / (x - 1)^2;
y' = ((x - 1) - (x + 1)) / (x - 1)^2 = -2 / (x - 1)^2.

Видно, что при любом допустимом значении аргумента эта производная отрицательна, значит исходная функция всюду убывает на своей области определения. Так производная сразу даёт информацию о поведении функции.

Частые ошибки. Производная произведения не равна произведению производных. То же касается частного. В цепном правиле нельзя забывать домножать на производную внутренней функции, например (sin 2x)' = 2 cos 2x, а не cos 2x. Часто путают и порядок слагаемых в правиле частного — в числителе на первом месте стоит производная числителя.

Кратко о главном

• Производные основных функций берут из таблицы.
• Постоянный множитель выносят за знак производной.
• Производная суммы — сумма производных, для произведения и частного есть свои формулы.
• Сложную функцию дифференцируют по цепному правилу.