Знаки тригонометрических функций по четвертям

Знаки функций по четвертям

Знак тригонометрической функции зависит от того, в какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая углу. Поскольку синус — это ордината точки, а косинус — её абсцисса, знаки этих функций в точности повторяют знаки координат в каждой из четырёх четвертей. Умение быстро определять знак нужно почти в каждой задаче по тригонометрии.

Откуда берутся знаки

В первой четверти обе координаты точки положительны, поэтому положительны и синус, и косинус. Во второй четверти абсцисса отрицательна — косинус становится отрицательным, а синус остаётся положительным. В третьей четверти отрицательны обе координаты, значит отрицательны и синус, и косинус. В четвёртой отрицательна только ордината — отрицателен синус, а косинус положителен.

Тангенс равен отношению tg t = sin t / cos t, поэтому его знак — это произведение знаков синуса и косинуса. Котангенс ctg t = cos t / sin t имеет тот же знак, что и тангенс, ведь он отличается лишь перестановкой числителя и знаменателя.

Сводная таблица

Как быстро запомнить

Удобно мысленно представлять, где функция положительна. Перечислим наглядные правила:

• Синус положителен в верхней половине окружности — это четверти I и II.
• Косинус положителен в правой половине — это четверти I и IV.
• Тангенс и котангенс положительны там, где знаки синуса и косинуса совпадают, — в четвертях I и III.

Многие школьники запоминают это по образу «синус смотрит вверх, косинус — вправо».

Разобранный пример

Определим знак cos(200°) и tg(200°). Угол 200° больше 180°, но меньше 270°, значит точка лежит в третьей четверти.

Частые ошибки и правило. Сначала определите четверть по величине угла, затем вспомните знак координаты: ордината задаёт знак синуса, абсцисса — косинуса. Распространённая ошибка — автоматически ставить плюс, мысленно опираясь на острый угол из треугольника. Ещё одна ошибка — путать знаки тангенса: помните, что он положителен именно в I и III четвертях, хотя сам по себе третий квадрант «отрицательный» для синуса и косинуса.

Зачем это нужно

Знаки функций нужны при выборе корня в основном тригонометрическом тождестве, при упрощении выражений и при отборе корней в уравнениях. Без правильного определения знака итоговый ответ почти всегда получается ошибочным.

Кратко о главном

• Знак функции совпадает со знаком соответствующей координаты точки.
• Синус положителен сверху, косинус — справа, тангенс — где знаки совпадают.
• Тангенс и котангенс положительны в I и III четвертях.
• Чтобы найти знак, сначала определите четверть угла, потом знак координаты.