Числовая окружность

Что такое числовая окружность

Числовая окружность — это окружность единичного радиуса с центром в начале координат, на которой каждому действительному числу поставлена в соответствие ровно одна точка. Она служит наглядной моделью для определения тригонометрических функций любого угла, а не только острого, как было в прямоугольном треугольнике. Именно благодаря числовой окружности понятия синуса и косинуса распространяются на все действительные числа.

Радиус окружности равен единице: R = 1. Начало отсчёта — точка с координатами (1; 0), лежащая на правом конце горизонтального диаметра. Положительное направление обхода — против часовой стрелки, отрицательное — по часовой стрелке. Такое соглашение принято во всей тригонометрии, и его важно запомнить с самого начала.

Как число превращается в точку

Чтобы найти точку, соответствующую числу t, нужно отложить от начальной точки дугу длиной t вдоль окружности. Длина всей окружности равна 2π, поэтому, пройдя полный круг, мы возвращаемся в исходную точку. Из этого следует, что числа t и t + 2π попадают в одну и ту же точку. Именно отсюда возникает периодичность синуса и косинуса с периодом 2π.

Координаты полученной точки и есть значения функций: x = cos t, y = sin t. Таким образом, синус — это ордината точки на окружности, а косинус — её абсцисса. Это определение полностью согласуется со школьным определением через прямоугольный треугольник для острых углов, но работает и для тупых, и для отрицательных углов.

Связь длины дуги и угла

Длина дуги единичной окружности численно равна радианной мере соответствующего центрального угла. Поэтому число t можно понимать двояко: как длину пройденной дуги и как величину угла поворота в радианах. Например, четверти окружности отвечает дуга длиной π/2, а половине — дуга длиной π.

Четверти и характерные точки

Окружность делится осями координат на четыре четверти. Их нумеруют против часовой стрелки, начиная с правой верхней. Запомнить координаты ключевых точек помогает таблица.

Разобранный пример

Найдём точку для числа t = 3π/4 и определим знаки функций.

Здесь видно главное преимущество модели: косинус оказался отрицательным просто потому, что точка попала в левую полуплоскость, где абсциссы отрицательны.

Частые ошибки. Не путайте направление обхода: положительным числам соответствует движение против часовой стрелки, отрицательным — по часовой. Также помните, что одной точке отвечает бесконечно много чисел вида t + 2πk, где k — любое целое число. Ещё одна ошибка — забывать, что радиус равен именно единице, иначе координаты перестанут совпадать со значениями функций.

Кратко о главном

• Числовая окружность имеет радиус 1 и центр в начале координат.
• Каждому числу t отвечает точка, причём cos t — абсцисса, sin t — ордината.
• Положительный обход — против часовой стрелки от точки (1; 0).
• Длина дуги равна радианной мере угла поворота.
• Числа, отличающиеся на 2πk, дают одну точку — отсюда периодичность.