Частные случаи простейших тригонометрических уравнений

Частные случаи тригонометрических уравнений

Простейшие уравнения sin x = a и cos x = a в общем случае решают по формулам с арксинусом и арккосинусом. Но когда правая часть a равна 0, 1 или -1, общие формулы выглядят громоздко, а ответ можно записать гораздо проще и короче. Эти частные случаи встречаются постоянно, поэтому их полезно запомнить отдельно и не выводить каждый раз заново.

Понимание частных случаев экономит время на контрольной и снижает риск ошибки: вместо длинной формулы с обратными функциями достаточно записать короткую серию. Все они легко восстанавливаются по числовой окружности.

Особенно полезны частные случаи при решении более сложных уравнений, когда после преобразований получается, например, sin x = 0 или cos x = 0. В таких ситуациях короткая формула позволяет мгновенно дописать ответ. Кроме того, эти случаи помогают находить область определения тригонометрических выражений: например, тангенс не определён там, где cos x = 0, а котангенс — там, где sin x = 0, и именно частные формулы дают точные точки разрыва.

Частные случаи для синуса и косинуса

Почему так

Все эти формулы легко увидеть на числовой окружности, если вспомнить, что синус — это ордината точки, а косинус — её абсцисса. Например, ордината равна нулю в двух диаметрально противоположных точках окружности, которые отстоят друг от друга на π, поэтому sin x = 0 и даёт серию x = πn. А значение синус, равное единице, достигается лишь в одной верхней точке, поэтому период там полный, 2π.

cos x = 0: абсцисса равна нулю в верхней и нижней точках окружности,
они отстоят друг от друга на π, отсюда x = π/2 + πn.

Разбор примера

Решим уравнение 2·cos x - 2 = 0. Приведём его к простейшему виду и узнаем частный случай.

2·cos x - 2 = 0 → cos x = 1 — это частный случай.
Косинус равен единице только в правой точке окружности.
Ответ: x = 2πn.

Частые ошибки. Для sin x = 0 ошибочно пишут период 2πn вместо правильного πn, теряя половину решений. Путают результаты для sin x = 1 и cos x = 1. Иногда зря применяют арксинус и арккосинус там, где можно сразу записать короткий ответ по таблице частных случаев.

Кратко о главном

• При a = 0; 1; -1 ответ записывают без арксинуса и арккосинуса.
• sin x = 0 даёт x = πn, а cos x = 0 — x = π/2 + πn.
• Значения ±1 достигаются раз в период, поэтому в ответе 2πn.
• Все формулы наглядно видны на числовой окружности.
• Частные случаи стоит запомнить, чтобы решать быстрее.