Свойства логарифмов и переход к новому основанию

Свойства логарифмов

Логарифмом числа b по основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Свойства логарифмов превращают сложные действия со степенями в простые операции сложения и вычитания и потому незаменимы при упрощении выражений и решении уравнений. Везде далее считаем, что a > 0, a ≠ 1, а аргументы логарифмов положительны.

Откуда берутся свойства

Все свойства логарифмов вытекают из свойств степеней. Например, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются — отсюда и появляется правило для логарифма произведения. Понимание этой связи помогает не путать формулы и при необходимости выводить их заново.

Основные свойства

• Логарифм произведения: logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y.
• Логарифм частного: logₐ(x/y) = logₐ x - logₐ y.
• Логарифм степени: logₐ(xⁿ) = n · logₐ x.
• Основное логарифмическое тождество: a^(logₐ b) = b.
• Частные значения: logₐ 1 = 0 и logₐ a = 1.

Переход к новому основанию

Любой логарифм можно выразить через логарифмы по другому основанию c:

logₐ b = (logₜ b) / (logₜ a)

На практике чаще всего переходят к десятичному логарифму (обозначается lg, основание 10) или к натуральному (обозначается ln, основание e), чтобы воспользоваться калькулятором. Из формулы перехода вытекают полезные следствия: logₐ b = 1 / logᵇ a и logₐₙ bᵐ = (m/n) logₐ b. Последнее равенство показывает, как показатели степени в основании и в аргументе влияют на логарифм.

Разобранный пример

Вычислим log₂ 24 - log₂ 3. По свойству частного объединяем логарифмы:

log₂ 24 - log₂ 3 = log₂(24/3) = log₂ 8 = 3

Ещё пример с переходом к новому основанию: log₄ 8 = log₂ 8 / log₂ 4 = 3/2 = 1,5. Покажем работу свойства степени: log₃ 81 = log₃ 3⁴ = 4 log₃ 3 = 4. И комбинированный пример: log₂ 5 + log₂ 0,8 = log₂(5 · 0,8) = log₂ 4 = 2. Видно, как свойства позволяют находить точное значение даже там, где каждый логарифм по отдельности нецелый.

Десятичные и натуральные логарифмы

Два основания встречаются настолько часто, что для них завели особые обозначения. Десятичный логарифм по основанию 10 пишут как lg: например, lg 1000 = 3. Натуральный логарифм по основанию e ≈ 2,718 пишут как ln; он играет ключевую роль в анализе, потому что производная функции ln x равна 1/x. Любой другой логарифм через формулу перехода легко выражается через эти два, и именно так логарифмы вычисляют на калькуляторе.

Частые ошибки. Нет формулы для логарифма суммы: logₐ(x + y) нельзя «разбить» на отдельные слагаемые. Свойства работают только при положительных аргументах и допустимом основании. Множитель в формуле степени выносится только из всего аргумента целиком, а не из его части.

Кратко о главном

• Логарифм произведения — сумма логарифмов, частного — разность.
• Показатель степени выносится перед логарифмом множителем.
• Формула перехода к новому основанию: logₐ b = logₜ b / logₜ a.
• Логарифм суммы по свойствам не раскладывается.