Выпуклость функции и точки перегиба

Выпуклость и точки перегиба

Выпуклость описывает, как именно изгибается график функции. График называют выпуклым вниз (или вогнутым), если он лежит выше своих касательных, и выпуклым вверх, если лежит ниже их. Точка перегиба — это точка, в которой направление выпуклости меняется на противоположное. Исследовать выпуклость и находить точки перегиба помогает вторая производная функции.

Если первая производная отвечает за возрастание и убывание, то вторая производная отвечает за «изгиб» графика. Вместе они дают полную картину поведения функции и позволяют строить её график достаточно точно даже без множества вычисленных точек.

Вторая производная

Вторая производная f''(x) — это производная от первой производной. Её знак и определяет характер выпуклости на промежутке. Чтобы найти вторую производную, функцию дифференцируют дважды подряд.

Поиск точек перегиба

Точку перегиба ищут так же осторожно, как и экстремум: одного равенства нулю недостаточно, нужна именно смена знака второй производной.

Точка перегиба — там, где f''(x) = 0 (или не существует) И f''(x) меняет знак.

Если вторая производная равна нулю, но знак её при переходе через точку не меняется, то перегиба нет. Это полностью аналогично ситуации с экстремумом и первой производной, и об этой аналогии полезно помнить.

Разбор примера

Исследуем выпуклость функции f(x) = x³. Найдём первую и вторую производные и проследим за знаком второй производной слева и справа от подозрительной точки.

f'(x) = 3x², f''(x) = 6x.
При x < 0: f''(x) < 0 — график выпуклый вверх.
При x > 0: f''(x) > 0 — график выпуклый вниз.
В точке x = 0 знак меняется, значит, это точка перегиба.

Исследование выпуклости — естественное продолжение исследования монотонности. Сначала по первой производной находят промежутки возрастания и убывания и точки экстремума, затем по второй производной — промежутки выпуклости и точки перегиба. Вместе эти данные дают достаточно точное представление о форме графика, и его можно нарисовать аккуратно, опираясь лишь на несколько характерных точек.

Частые ошибки. Считают любую точку с f''(x) = 0 точкой перегиба, не проверив смену знака. Путают выпуклость вверх и вниз — полезно запомнить, что положительная вторая производная даёт вогнутый график («улыбку»). Смешивают признак экстремума, который связан с первой производной, и признак перегиба, связанный со второй.

Кратко о главном

• Выпуклость показывает направление изгиба графика.
• Знак второй производной f''(x) определяет тип выпуклости.
• При f''(x) > 0 график вогнут, при f''(x) < 0 — выпуклый вверх.
• Точка перегиба — где f''(x) равна нулю и меняет знак.
• Без смены знака точки перегиба нет.