Числовая последовательность и её свойства

Что такое числовая последовательность

Числовая последовательность — это функция, областью определения которой служит множество натуральных чисел. Каждому натуральному номеру n ставится в соответствие единственное число — член последовательности, который обозначают a_n. Саму последовательность записывают как (a_n), а число n называют номером члена. Например, a_5 — это пятый член последовательности.

В отличие от обычной функции, последовательность определена только в целых положительных точках, поэтому её удобно представлять как пронумерованный список чисел: a_1, a_2, a_3, ... Многоточие в конце подчёркивает, что членов бесконечно много и за любым членом обязательно следует ещё один. Именно бесконечность отличает последовательность от конечного набора чисел.

Каждый член занимает строго своё место, и порядок здесь важен: переставив члены, мы получим уже другую последовательность. Поэтому последовательности 1, 2, 3, ... и 3, 2, 1, ... считаются разными.

Способы задания последовательности

Последовательность можно задать несколькими способами, и каждый из них удобен в своей ситуации.

• Перечислением нескольких первых членов, если закономерность очевидна. Такой способ нагляден, но не всегда однозначен.
• Формулой члена с номером n: например, a_n = 2n - 1 задаёт последовательность нечётных чисел. Подставляя номер, сразу получаем нужный член.
• Рекуррентно: указывают первые члены и формулу, связывающую следующий член с предыдущими, например a_1 = 1, a_(n+1) = a_n + 3. Так задаются арифметическая и геометрическая прогрессии.

Формула члена с номером n удобна тем, что позволяет найти любой член напрямую, не вычисляя все предыдущие. Рекуррентный способ, наоборот, требует последовательного вычисления, но часто проще отражает закон образования.

Монотонность

Последовательность называют возрастающей, если каждый следующий член больше предыдущего: a_(n+1) > a_n при всех номерах. Если же a_(n+1) < a_n, последовательность убывающая. Возрастающие и убывающие последовательности вместе называют монотонными. Чтобы доказать монотонность, обычно исследуют знак разности a_(n+1) - a_n или сравнивают отношение соседних членов с единицей.

Ограниченность

Последовательность ограничена сверху, если существует число M, такое что a_n <= M для всех номеров. Аналогично она ограничена снизу, если найдётся число m с условием a_n >= m. Последовательность, ограниченную и сверху, и снизу, называют просто ограниченной. Ограниченность и монотонность — важнейшие свойства, которые позже используются при изучении предела.

Разобранный пример

Исследуем последовательность a_n = n / (n + 1).

a_1 = 1/2; a_2 = 2/3; a_3 = 3/4; ...
Каждый следующий член больше предыдущего, значит последовательность возрастает.
При этом все члены меньше единицы, поэтому она ограничена сверху числом 1 и снизу числом 1/2.
Итог: последовательность монотонно возрастает и ограничена.

Частые ошибки. Нумерация членов обычно начинается с единицы, а не с нуля. Нельзя путать номер члена и значение члена a_n. Монотонность нужно проверять для всех номеров, а не только для первых нескольких: иногда первые члены растут, а затем поведение меняется.

Кратко о главном

• Числовая последовательность — это функция натурального аргумента.
• Задавать её можно формулой члена с номером, рекуррентно или перечислением.
• Последовательность бывает возрастающей или убывающей — это монотонность.
• Ограниченность означает наличие верхней и нижней границы для всех членов.